CHAPITRE IL
Ratons db goorbubr et osgulation des courbes et des surfaces 99
Mémoln N"" 1.
Théorie de Posculation des sections coniques et construction du cercle osculateur en un point d'une section conique,' 99
MémolM ft 9.
Construction: \* des centres de courbure des épicycloides planes et sphériques; 2* des rayons de courbure des sections coniques et des surfaces du second ordre 123
§ 1. Épicycloïdes planes 124
Construction des centres de courbare de Pépicycloîde plane 124
La déTcloppée d'une épicycloïde plane est une autre ëpicycloïde plane 125
§ II. Épicycloïdes sphériques • 127
Construction des centres de courbure d^nne épicycloïde sphériqne 128
L'enveloppe des divers plans normaux à une épicycloïde sphériqne est une surface conique
ayant même sommet que le cône fixe 1 29
Développante sphériqne .^ ... . 133
La développante sphérique est une hélice sur le cylindre qui la projette orthogonaleraent
sur le plan du cercle bese du cane fixe 1 35
La courbe lieu des centres de courbure de la développante sphériqae se transforme , lorsque Ton planifie le cdne fixe sur Pnn de ses plans tangents , suivant un cercle ayant pour
diamètre rapolhème de ce cône » r 136
§ m. Il existe une infinité de courbes qui jouissent des mêmes propriétés que la développante
sphérique< 138
Tout point d'un plan , roulant tangentiellement sur une surface dé^eloppable dont Taréte de rebroussement a pour développante une courbe plane , décrit une courbe qui est une hélice sur le cylindre qui la projette orthogonalement sur le plan de la développante de
Faréte de rebroussement r 138
Lorsque Ton a deux courbes planes osculatrices Tune à Tautre , si Ton suppose que la pre-
mière roule sur une troiiièiiie courbe plane en entraînant la féconde , et que la aeconde roule eninite nir la troîaième en entraînant la première , un point dn plan des courbes oscnlatrices décrira , pendant TëToItttîon de la première courbe osculatrice, et ensuite pendant l'èTolution de la seconde'oourbe oeeulatriee, deux ^^ieurvolaidei qui seront oscnlatrices Tune à l'antre , et roscttlation enire les è^nenreoMdet sera du mèflM ordre que celle qui existait entre les courbes oscnlatrices mobiles 139
§ IV . Des inductions gëométriques qui conduisent « penser que la développée d'une épicjpclofde
plane est aussi une ëpicydolde plane 140
§ y. Énoncéi sous forme de Théorèmei géamétriquet de certaines propriétés des engrenages
cylindriques et coniques épicycloldauz iAt
§ YI. Correspondance entre cm'taines relations de position existant pour répicyclofde plane et
pour l'épicycloide spbérique 142
§ VII. Construction graphique du rayon de courbure en un point d'une saction conique dont on
ne connaît qu'un certain nombre de points 142
Construction du rayon de courbure fin un point d*une courbe dont l'équation est inccmnue. 1 48
§ Vlll. Construction des rayons de courbure maximum et minimum pour un point donné d'une
surface du second ordre 152
§ IX. Comment il serait possible d'établir la théorie de la courbure des suHkccs , sur des considérations purement géométriques et ainsi en employant la langue graphique , sans aroir besoin de recourir à l'analyse, et ainsi en employant la langue algébrique 160
§ X. Construction de rtndîcalnce. 16S
§ XI. Recherche géométrique par la méthode des projections de la nature de la courbe-lieu des
points r , en d'autres termes de Viuiieatriee 1 66
Mémoln ir 9.
Rayon de courbure de Vhéliee 168
§ 1. Le rayon de courbure de l'hélice conique est égal au rayon de courbure du c6ne divisé par
le carré du sinus de l'inclinaison de l'hélice sur la droite génératrice du cône 1 69
Pour le sommet de l'hélice conique , le rayon de courbure est toigours égal au rayon de
courbure du cône 1 69
§ 11. Valeur du rayon de courbure en un des sonnnets de la Hnifsoîde. 1 70
§ 111. Le lieu des centres de courbure minimum de l'hélicOïde déreloppable ayant pour arête de rebroussement une hélice circulaire , est le cylindre sur lequel cette hélice se trouve tracée 17S
Hémotre IT 4.
De la courbure et de la flexion d*une courbe à douMe courbure. 176
S I. Résumé du mémoire 176
' § H. Du rayon de flexion des courbes à double courbure 1 80
De la relation qui existe entre les angles de contingence et de flexion d'une hélice cylindrique 186
Propriétés géométriques des développantes des développées d'une hélice cylindrique. . . 189
De la forme de la développée d'une héliee cylindrique et circulaire 192
§ 111. De la représentation géométrique des deux courbures d'une courbe à double courbure. . 194
Mémoire iT 6.
Comtntetion dee diverses hélices cylindriques ayant un contact du second ordre avec une courbe à double courbure. . 201
§ I. De U loi à laquelle «ont «isiiyeities leg diveraes hélices oircnlairet ayant entre ellea un
contact du second ordre * 202
§ II. Deax conrbes à double courbure ne peuvent aToir en un point un contact du troisième ordre , qu'autant qu'elles oot en ce point , mêttm cercle oseulatenr , même angle de fiexion ou même poi , et même spbève eseulatrice du troisième ordre 209
MémoÊre ft 8.
Des indicatrices des dif>ers ordres de contact entre deux surfaeesy et des eondUians géomé* triques auxquelles doivent satisfaire deux surfaces ayant un point de contact pour qu'elles aient un contact du n*^^ ordre tout autour de ce point 210
§ I. La courbe qui limite la calotte superficielle et élémentaire de contact entre deux surfaces
est toujours une courbe plane quel que soit Tordre du contact. 210
§ II. De la loi géométrique et infinitésimale à laquelle sont soumis les plans des indicatrices
des divers ordres de contact 221
§ III. Tout plan tangent au cône ayant son sommet en un point m d'une surface S dP^ur base la courbe €« , section de la surface S par un plan parallèle au plan T tangent en m à cette
surface S , et mené à une distance ( d^g + d^g + + d"*) de ce plan T , coupera la sur*
face S surrant une courbe du degré n 226
.§ lY. Du contact qui peut exister entre deux surfaces tout le long d'une courbe commune. . . 227
§ V. De la surface la plus simple qui aura avec une surface donnée S un contact du second
ordre tout le long d'une courbe A arbitrairement tracée sur cette surface S 231
§ \\ . Détermination de la courbe qui limite la zone superficielle et élémentaire du contact de
l'ordre n* entre deux surfaces S et S' en contact par une courbe 232
Mémoire IT 7.
Sur les paraboloides osculateurs 234
§ I. Propriétés des paraboloïdes osculateurs. 234
% U, Équations des indicatrices des divers ordres 242
§ III. Traduction géométrique de l'ensemble des symboles analytiques dont se compose la
formule deTaylor. . 243
Mémoire iT S.
Propriété du parab^lotde oseulateur par son sommet en un point d'une surface du second degré. , 245
Mémoire N" 9.
Des propriétés oseulairices de deux surfaces en contact par un point» 260
Deux surfaces ayant un contact du premier ordre en un point ne peuveni-elles pas avoir
un contact du second ordre , suivant certaines directions , et à partir de ce point ?. . . 25 1 Énoncés de divers théorèmes 257
Mémoire n^ le
De rhyperboloide oseulateur, , . ^60
§ I. Des surfaces gauches qui ont un hyperbololde oseulateur, et de celles qui ont un parabo-
loïde*hyperbo1ique oseulateur - 260
§ II* Construction du rayon de courbure en un point d^une courbe, pour lequel on connaît
la tangente à cette courbe^ 26$
§ 111. Construction de la courbe de gorge d'une surface réglée 264
LliyperboloSde à une nappe jouit de la propriété , saroir : le plan de la courbe de gorge est tangent à tous les c6nes qui ayant leur sommet au centre de la surface sont tangents aux paraboloïdes-hyperboliques et normaux menés suirant les dijerses génératrices
droites de la surface byperboloïde 265
Si la courbe de gorge d'une surface réglée est plane , la surface réglée aura toi^oursj pour cône directeur un cône du second degré. 266
Mémoire N*" il.
Constrtêctian géométrique des Hgneê d'égale courhure d'une eurface gauche 269
g 1. Les lignes de courbure, maximum et minimum, d'une surface gaucbe, coupent sons Panglé d«i-droit la génératrice droite de cette surface pour tout point en lequel les
rayons de courbure de cette surface sont égaux 270
§ II. Lignes de courbure de l'hélicoïde gaucbe ( surface d*une vis à filet carré) 272
§ m. De la forme approximatire des lignes de courbure d'une surface gauche 27$
§ IV. De la ligne de gorge des surfaces gauches. 274
