iy(a)J

Appliquant celte formule à l'exemple proposé, on trouve pour l'intégrale générale

fr^ r. B\ G . D

COSJ".

lo. Trouver V intégrale générale de V équation différentielle du troisième ordre

(1) -.-4 - 3 -j^ -'-2r =r (ax- ■h)e^~^cer^'^,

dx^ dx *^

(Paris, juillet 1872, i** question.)

L^équalion caractéristique est

o — %^ — 3 a -H 2 = (a — 1)* (a 4- 2); la solution générale de l'équation sans second membre est

y = e'(G -4- Car) f- G'e-»'.

20 PRE11IÈR£ PARTIE. — GH4PITRB II.

Nous diviserons la recherche de Tintégrale particulière en deux parties; nous considérerons d^abord Téquation

posons yzL-ze'y l'équation, précédente devient

qui admet pour intégrale particulière

z = -{^[aar' -+-(36 — a)a:*]; la solution générale de l'équation (2) est donc

r=% [Cl -h da? 4- (36 — a)x* h- aar*] -h Ce"»'.

lo

Prenons ensuite Téquation

on pourrait en trouver une intégrale particulière en se servant de la formule du numéro précédent, mais ici, — 2 étant racine simple de Téquation caractéristique, on peut procéder comme il suit. Au second membre de Téqualion (4) substituons ce"-*,

sera une portion de solution de cette nouvelle équation; écrivons-la sous la forme

70 ^ De-*' H ,

et faisons tendre n vers — 2, le dernier terme prendra la forme -; on obtiendra sa valeur limite en prenant le rapport des dérivées de ses termes par rapport à n, et faisant

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIKLLBS. 31

ensuite /i == — 2 ; on a finalement

L'intégrale générale de Téquation proposée est donc

j' = -^[Ci H-Cja?-+-(36 — a)x« -\-ax^] H (Ca-t- ex),

lo 9