Intégrer V équation différentielle linéaire
(Toulouse, juillet 1880, 7.^ question. ) L'équation caractéristique étant
l'intégrale générale de l'équation sans second membre est y 1= (Cl -+- Cja?)cosaa7 -^(Ca -i- C^x) sinax.
La méthode de substitution employée au n° 14 pour trouver une intégrale particulière serait ici en défaut.
On pourrait ramener ce problème à un autre, précédemment traité (n® 14), en remplaçant, dans le second membre
de I équation proposée, cosaj: par '■ • On
peut aussi substituer à l'équation proposée la suivante :
dont Pintégrale générale est
ces b X
y = (Cl -+- Ci^:) cosao? -^ (C3 -4- C^ar) sinaj? -+- - , ^ ^ ^
= (Cl -H Cja?)co»aj:-H(C8 -H CtrF)sinarF
I cos6t - cosaar \^b-\-aY (6 — a)i
22 riEMIÈU PAMTIK. — CBAFITU II.
Pour b = ajle dernier terme prend la forme infinie
I jrsin6j?
mais on peat encore écrire
jr = (C| -h Ct«) cosaa* — (Cj -r- Cix) sittax
dont le dernier terme prend la forme - quand b tend %xrs a ;
sa valeur limite étant — ^ - « on a, pour Tinlégrale
générale de Téqualion proposée^
J* = (Cil -:- Cix)cosajr~(Cj — C^x^sinax -^—z — •
à^y ^àv Qx' -»- 6x — a —r^ 6-7- -i-QV= .
(Dijon, juillet i88o.) L'équation caractéristique est
o = a* — 6a-H9 = (at — 3)*,
et
est rintégrale de l'équation sans second membre.
L'emploi de la méthode de la variation des constantes arbitraires conduit aux équations
* ydx^" dx) '°'
d'où
C, = — e-»'(ar-» -+- 3x-«), C, = e-»*(3 +ax-«).
ÉQUATIONS DIPPÊRERTIBLLRS. a3
L*inlégrale générale est donc
j' = (G,H-C,ar)«»'H-i.
d^Y dv
x^-^^-^ix^-^iy = x^-\-px^q,
(Paris, novembre i88a, i"* question.)
Pbemiere méthode. — Cherchons d'abord Tintégrale de l'équation privée du second membre, en posant a: = e'; on arrive à Téquation
dt^ ^dt^^y-''' dont rintégrale est
La méthode de la variation des constantes donne ensuite
