On propose de trouver V intégrale générale de réquation

-Ht — î» -r^ -^y = Atf*"-»- Be'^-h G sino: -+- D cosa:, dx'^ dx* ^ '

A, B, C, D étant des constantes,

(Paris, juillet 1870.)

ViLUt. — Composition». 3

l8 PRBHlfcRE PARTIE. — CHAPITRE II.

L'équation caractéristique est

est donc la solution de Téquation dépourvue de second membre; il suffit d'y ajouter une intégrale particulière de l'équation avec second membre. Nous trouverons une portion de cette intégrale en substituant

^0= ût sinar-f- bcosx:

on obtient

et = — 9 0= •

Mais la même méthode ne réussirait pas pour les termes Ae^-I-Be""^ qui sont solution de l'équation sans second membre. Voici comment on peut procéder sans se servir de la méthode de la variation des constantes arbitraires, dont l'emploi est toujours assez pénible. Soit, plus généralement, l'équation

et

son équation caractéristique, dont a est n fois racine. A l'équation proposée on substitue la suivante :

dx"^ dx"^-^ dx'ft-* '"•^ '

elle admet pour intégrale particulière ^ , r^- — r^> en sorte que

est une portion de l'intégrale; il n'y a plus qu'à faire

fiQUÀTlONS DIPPÉBBNTISLLBS. I9

tendre b vers a, ou e vers zéro, si l'on pose 6 = a + e. Or ^bx ^tx Pi IX i x^

e i.2.3...(n — i) 1.2.3. ../tj

0(j?) s'annulant, quel que soit x^ pour e = o. L'expression de y^ prend alors la forme

ou, en introduisant de nouvelles constantes et faisant tendre ensuite e vers zéro,

D,-HD,ar- ...-^D„^«-i-i- ______