Prouver que V équation différentielle

où n est un nombre entier positif, peut être satisfaite par un polynôme entier et indiquer comment on peut en déduire la solution générale,

(Nancy, novembre 1880.)

Soît

y = a:"*-»- Aia7'«-*-i- Aïo?'»-* — . . .1- A;,,;

on trouve, par subslitution, quMl faut que Ton ait

m = n et o = Ai = A8~...;

on a en outre, entre deux coefficienls consécutifs, la relation

. (n ' - ik ~^- 'x)(n — 9.x- -i) A,A = - A,A., ^>t[2(/i-)t)~7]

Le polynôme

2(2/1 — l) 2*. 1.2(2/1 — OC^'* — 3)

/i(/i — 1) . . . (îi — 2A:-+-i) .,

satisfait à Téquation proposée.

Pour en déduire la solution complète, soit, plus généralement, Téquation linéaire du second ordre, sans second membre,

dont on connaît une intégrale particulière y =yo ; on a

''.(^.S-'SJ)-''.(^-S-^i-)=-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. CÎ7

d'où Ton déduit aisément

Appliquant cette formule à l'exemple actuel, on a

que Ton sait former.

S2. Intégrer l'équation différentielle

(Paris, novembre 1875, 1" question.) Résolvant l'équation par rapport à ^9 on a

d'où

a? = Cd: 2 v^i — y±: arcsin(a^ — i),

les doubles signes étant indépendants.

L'intégrale cherchée s'obtient plus rapidement et sous une forme un peu différente, si l'on pose

d'où

zt.dx = ^dzi/ -~- = ^dz -- ZL ^ j

ar = C ±: 2 y^i — y ih 2 arc sin v^.