Intégrer l'équation différentielle du premier ordre
(Lille, novembre 1880}.
28 PRBHIÈRB PARTIE. — CBAPITRB II.
On a
^ dx\ dx 1
équation linéaire en x et y y que l'on intègre en commençant par la différentier. Posant
on a
Éliminant -^ entre les équations (i) et (a), on a l'intégrale cherchée
24. Trouver les courbes dont les coordonnées rapportées à deux axes rectangulaires satisfont à V équation différentielle
h(a"]£S=Ki)'-](S)"
(École Normale, juillet 1878.) En posant -^ = /?, ;^ = 3, on a, entre z et /?, la rela-
dx -' ' dx lion
dz ^ {iP^-jYdp ^ / 4/> __ l\
Z ----- =z — ti )
dx p
^ '^ 2(i-h/>») cilr y G(a7 — j^o)
ihC(x — ^o)~arc8in /G(ir — x^) -h /G(:f — ifc*o)Li — C(ar — Xq)J,
d*où, par un transport d*axes coordonnés,
± Oy = arc sin /C5 -t- ^Qx{i — Cx)\
ces courbes sont semblables et ont Torigine pour centre de similitude; si Ton construit l'une d'elles
àzjr — arc sin v^iir x -r- /îii J7( i qi a:),
on obtient une courbe symétrique par rapport aux axes, ayant pour axes 2 et tc et composée de deux demi-ovales tangentes à l'axe des y ; transportant celle de gauche en j:o= 2, on a une courbe fermée.
25. Intégrer le système de deux équations différent tielles simultanées
( Paris, juillet 1873.)
En éliminant x entre les deux équations proposées, on arrive à l'équation difTérentielle du quatrième ordre
qui a pour équation caractéristique
l'intégrale de l'équation (2), sans second membre, est
(3) 7 = (Ci-^Ci/)co8ar-4-(C3-f-Gv0sîn2^
Pour trouver une intégrale particulière, on pourrait employer la méthode du n^l6; nous suivrons une marche analogue à celle du n® 14 : nous remplacerons le second membre de l'équation (2) par cosA:^, et nous en déduirons
30 PRBXlfeRB PARTIE. — CHAPITRE 11.
comme solution particulière
coskt __ I cosA:^
posant
on a
(4-i-OM
ou, en faisant tendre e vers zéro et tenant compte de Téqua tion (3),
(4) 7o= — 3^cos2/, ce qui donne finalement
(5) j a7 = cos2/[^(4C4-Cx-^)--C,f-f-gl
\'in2t T- (4C,-4- C) -h < Q -Ci)] •
26. I® Intégrer les deux équations différentielles simultanées
d^y zdv o dz
av d^z ^ dz
2° Intégrer les deux équations simultanées ( d\r dr , dz
Obis) )^î-^^--''->'^5i-'-^»^ = <''-
dy d*z ^ dz
dx
isi^^^-^^. +^^+3-' = «-'-
(École normale, juillet 1874.) 1° Nous procéderons par la méthode d'élimination.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3l
Si l'on dérive la première des équations et qu'on en retranche la seconde, il vient
qui, jointe à la première, fournit deux équations en ~ el z ; on en déduit, en les résolvant,
- ,, dz d^y d^Y dy
Éliminant z entre ces dernières, on a Téquation ,ox d^y d^y dy
dont Téquation caractéristique est
qui fournit l'expression de^; celle de z s'obtient ensuite àl'aide de la seconde des équations (2).
La solution cherchée est donc
[S ^ o v^ jo y-,
a° Pour trouver une sohilion particulière, ^'0, Zq des équations (i bis)j la méthode générale consisterait à poser
y = ae'-T- be-', z = ae^-^ P^"'»
à substituer ces valeurs dans les équations (i bis) et à an
3a PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
nuler dans chacune d'elles les coefficients de e* et de e~'; on obtiendrait ainsi quatre équations du premier degré fournissant les valeurs des quatre constantes a, 6, a et ^. Elle conduit dans l'exemple actuel à des équations incompatibles, ainsi qu'il était facile de le prévoir; celte méthode, en efiet, doit être en défaut, puisque e* et e~^ sont solutions de l'équation (3). Procédant par la méthode d'élimination, on arrive à
en y appliquant la formule du n° 14, on trouve l'expression de ^'o T '^ formule
donne ensuite ^o* On arrive ainsi à
7 IQ
Yo = - - x^ e' -+- -^- ar«-',
