ÉQUATIONS ÀLX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC

d'où l'équation différentielle du lieu

(dz ds \ , , ..

les équations à intégrer sont

. dr dv . z dz

d'où

x^ -^y^ = C», ^« = C, rt i K« arc sin jj;

iJ) 5* = ç>{j:'-+-^*)d= aK* arclang — '

Pour que celte surface contienne Taxe des x, il faut que la fonction f soit nulle

r- — dz aK* arctang ^ ou, en coordonnées cylindriques,

c'est l'équation d'une surface réglée à plan directeur, dans laquelle les ordonnées sont égales aux carrés de celles d'un hélicoïde gauche.

La trace de ce conoïde sur un cylindre circulaire droit ayant Oz pour axe a pour transformée, dans le développement, une double parabole dont l'axe est la section droite du cylindre.

30. Déterminer toutes les surfaces qui satisfont à la condition

OP.M.> =aOM ,

dans laquelle X désigne une constante donnée, O r origine des coordonnées, M un point quelconque de Vunr des surfaces, P le pied de la perpendiculaire abaissée

de O sur le plan tangent en M, et N la trace de la normale en M sur le plan XOY.

(Paris, novembre 1875, a* question.) On a

dz dz

x-j — Hr-j z

^^ = c-^zTmn-) =- V'^ (S)'"^ iUï'

d^où réquation aux dérivées partielles

qui s'intègre en posant

dx dy z dz ^ dr -\- y dy -^ z dz

^'^' 'x ^ Y ~ z^ ■:rL\{x^ -\- yi'^^r^) ~ (^i =b X~) (jr^-h >'«— ^«)'

d'où

y= C,^, X'- ~\- y'^ -^ z"' = C2JP»'»=^>\ et enfin réquation finie

qu'on peut mettre encore sous la forme

En coordonnées polaires, cette équation prend la fornic simple

(3/er) p = (sine/'*'xF(i}/).

31. Trouver U équation aux dérivées partielles des surfaces décrites par une droite qui se meut en rencontrant une droite fixe sous un angle donné.