ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC
Intégrer ensuite cette équation aux dérivées partielles.
(École Normale, juillet 1873.)
Les équations d'une génératrice sont de la forme
y =z ax, z = bx -^ c,
avec la condition
= cos :
exprimant que le plan tangent passe par le point
x = Oy y = o, z = c,
on a Téqualion cherchée
dz dz ,
- X-y- ->rY -j- = 5 — c = bx ( I ) { dr -" dy
= arcotô/i -H cO- = colôy'-r^-t- ;*.
Pour l'intégrer, on pose
dx dy dz tango
^' = Ciar, dlrv^i -+-Ci = rf>«lang8, -c = Cj-l-ajVi-hC} cotô, d'où enfin
32. Intégrer Inéquation aux différentielles partielles X dfo c/tp rfç , d^
<" J aj -^('-•^*>^ ■^(''-^■')^ ^(*--^"^5n = "•
(Nancy, juillet 1880.) I^s équations à intégrer sont
dr dy dz du
38 PREMlfeRE PAKTIB. — CHAPITRE III.
La première peut s'écrire
d'où
dx ^ \ y^
on a encore
flr
dy dz y d^ — ^^y ^
7(7' — I) ~ yiys — ci) ~ yz — ay* "~
d'où
T(z — ay)
et, de même,
T(u — hy)
L^intégrale cherchée est donc
33. Trouver la Jonction z des deux variables indépendantes X et y, qui se réduit à zéro pour x = a et qui satisfait à l'équation aux dérivées partielles
dz dz
(i) ax^ -7- -\-{x^ z -^ax'^y — ax^y^)-7-—iax'^yz~ia'^y'^.
(Paris, juillet 1869.) On a
, . dx dy dz
ax^ x*z-r-ax^y — ax^y- •àay{x^ z — ay^)'
que Ton peut écrire
dx a X x^ {%bis) { ^2l
dz y ^ y^ __ f'ky dy 7'\ ^* .
dx ~" ^* "* vF* ~ \ a?* dx x^ I " dx *
ÉQUATIONS AUX DfiRIVÉBS PAKTULLBS, ETC. 89
d'où
et
(» ^=G,logar-4-C,.
L'équation générale des surfaces, satisfaisant l'équation donnée, est donc
Si Ton tient compte des conditions de l'énoncé, on a
d*OLi, par Télimination de y^ la relation
Cl 4- C| loga ±1 v/— Cl = o, el enfin, pour Téquation de la surface,
