Déterminer les fonctions uetv de deux variables

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. ^l

indépendantes x et y, dont les différentielles totales vérifient les relations

( dv — i^u -\- 'xv^ dr -\- {u -^ v) dy .

(Paris, novembre 1881.

Première méthode. — On a les équations linéaires simultanées / V du ^ dv

. o X du dv

En les intégrant par la méthode de d'Alembert, on a, pour les équations (2),

3^-e = ûr, 124-26 = 06, 6* H- 6 — 12 = 0, 0i = 3, ai = 6; 6j = — 4, a^ — — i.

Substituant dans l'intégrale

on a successivement

(4) a-h3^=/,(7)c«^ u-iç=/iiy)e-'.

Procédant de même pour les. équations (3), on obtient

(5) M -+- St' = F,(jr)c»r, u — ^v = F,(x)c-»r.

Les équations (4) et (5) exigent que Ton ait

(6) M -t- 3 i» = Cl e«*-^»r, a — 4p = C,c-'-V;

d'où

^^^ I « = |(4Cic«'-^»rH-3C,tf-'-«0,

4a PREMIÈBE PARTIE. — CHAPITRE III.

Deuxième méthode. — Prenons u et ^f comme variables indépendantes; à cet effet, tirons dy et dx des équations (i) :

[ . (u -h v)du — (%u-{-i'xv)dv

on a, en intégrant ces différentielles totales,

( r-+-C, = -^[510^(11 - {r)-halog(a-4-3p)],

/ ^-i-Cj= — }[61og(i/— îi^)-^ log(a-+-3r)]:

d'où l'on tire uelv sous une forme qui se ramène facilement à la précédente,

Troisiicme méthode. — Formons les équations aux dérivées partielles

du du dv dv

dx dy ' ~ar dy

on en déduit

Pour déterminer les fonctions fy et /a, on pourra substituer les valeurs de 1/ et v dans les équations qui donnent,

par exemple, ;7~ ^^ -/-J o^* sera conduit à des équations simultanées

identiques à celles que nous avons obtenues par la première méthode, et qui donnent

(i3) /-j^-B/jrriCe^^x-hj), /,-4A=C8C-»(*+r>,