Intégrer l'équation aux dérivées partielles

__ dz dz dx dy

On peut ramener cette équation à la forme linéaire, en considérant x comme la fonction à déterminer. On a en effet

, dz j dz , dz — - r/-r -f- - dyy

dx dy -^^

d'où

dz

dx — -r dz — ^ dy; dz dz ^

dx dx

on en déduit

dz

dx i dx dy

dz dz dy dz

dx dx

ce qui permet de transformer Téquation (i) en la suivante :

/ dx\^ dx

dx dx

ou, en posant ^=Pi ^ = ?'

{ibis) zq^'\-p^o.

Dérivant cette équation par rapport à 2, on a Téqualion linéaire en </,

dont rintégrale est

Les équations (2 bis) et (4)] fournissent p et q, mais, à cause de la fonction indéterminée /, il est impossible de pousser plus loin, en général, Tétude de la question. On v arrive, dans le cas actuel, à Taide d*un artifice; on a

( 5) dx = d(py '\-qz) — {ydp->rzdq\

donc

(G) ydp-^zdq = y^ H ç'(-^)J^^- ^^dq

est une différentielle exacte. Si on la forme, Téquation (5), en rintégrant, donne

(7) j^=.riP-+--5'-^?(-/>)-^-

On a donc, entre Xy y^ 5, p et y, les trois relations (2 bis). (4) et (7) entre lesquelles il faudrait éliminer^ et q. Or l'équation (7) est celle d'un plan, et les équations (4) et (a bis) ses dérivées par rapport k p et q\ donc la surface est Tenveloppe du plan mobile (7) dans Téquation duquel /? et q sont considérées comme des constantes arbitraires. On obtient une infinité de surfaces déterminées par leurs plans tangents , quand on fait varier la forme de la fonction ^ .