CHAPITRE IV

37. On donne une série de courbes (C) représentées en coordonnées rectangulaires par V équation

où a est une constante arbitraire.

On demande :

1® L' équation différentielle qui représente toutes les courbes (C);

2^ L'équation différentielle des trajectoires orthogonales des courbes (C);

3** L'équation en termes finis des trajectoires orthogonales des courbes (C).*

(Paris, novembre 1873.

r** En difTérenliant Téquation

(I) 9(1}'- — ry-' — T'^j

on obtient

3^2-+- v2 djT 2 dy

d'où, pour Péquation cherchée,

(îy

2® Celle des trajectoires orthogonales des courbes (C)

46 PIKHifclE PARTIE. — CHAPITRE IV.

3" Pour intgérer celle équalion homogène, poson:»

(:ÏÏ-

elle devienl, par rélimination de >' el dj\

djr I ^ -I- 3 ,

O = : ; ; dz,

d'où, en inlégrant,

v'^-ï-ha

C'est une courbe ovale comprise enlre les cercles de ravon C el C^'2.

On arrive plus rapidemenl par Temploi des coordonnées polaires. L'équation des courbes proposées se mel sous la forme

(I bis) 'A(t =

p C<)«i co ^

si II* Ci *

leur équation différentielle est

- . c/p I -5- COS*CD .

{'ÀÙIS) —- = -: mO,

p sinwfosw

el celle de leurs trajectoires orthogonales (G|) s'oblieni par la relation

elle est donc

Z I -r- ces' (ai

qui s^intègre immédiatement et donne, pour Téqualion des courbes cherchées,

{.\àis) p = C\/i -h COSTCO.

38. Trouver les trajectoires orthogonales des courbes représentées en coordonnées polaires par l'équation

p« = a» log ^^— ,

dans laquelle c est un paramètre variable; le signe lo désigne un logarithme népérien.

(Paris, juillet 1877, i" question.)

I/équation différentielle des courbes proposées est

diti p sin 'xtû ^ dp "^ ô» '

celle de leurs trajectoires orthogonales est, par suilc,

d(i} sin 9.(0

qui 9 par Tintégration, devient

^ do a^

C — cos 'i oj t)u, en coordonnées rectilignes,

famille de courbes du second degré ayant pour axes de symétrie les axes coordonnés.

39. Déterminer les trajectoires orthogonales des courbes déjinies en coordonnées rectangulaires par Véquation

( ^î -t- 1'- )' — ±: a* XY,

dans laquelle a désigne un paramètre variable,

(Ecole Normale, juillet 1879.)

48 PHESIÈRE PARTIE. — CHAPITRE ï\\

L'équation proposée représente deux familles de lemniscates semblables dont les axes sont les bissectrices des axes coordonnés ; leur équation différentielle est

4 (JT dx -\-y dy) r dx -^ t dy

x^-^y^ xy

et celle de leurs trajectoires orthogonales

Ux dy — y dx) y dy — x dx

y dy( Ix^ — .T')-^ ^ dxix^— 3 V*) = o;

c'est une équation homogène dont l'intégrale générale est

ou, en coordonnées polaires,

p z=z r\' rus -2 Ci),

qui représente des lemniscates semblables.

L'emploi des coordonnées polaires est un pou plus simple; on trouve, pour l'équation différentielle des

courbes proposées,

— i- = C0t2bi diù

et, pour celle de leurs trajectoires orthogonales,

do -

-^ — — tan£r2bi dm

qui s'intègre immédiatement.

40. Déterminer les trajectoires orthogonales des courbes qui sont les positions successives d'une courbe plane fixe (C) tournant, sans changer dejorme, autour d'un point O de son plan.

(Paris, novembre i883, a" question.)

Nous prendrons l'équation générale des courbes (C)

sous la forme

leur équation différentielle est et celle de leurs trajectoires orthogonales Ces trajectoires, dont l'équation est

sont donc comme les proposées, des courbes qui s'obtiennent par la rotation de l'une d'elles autour de O.

Si les courbes (C) sont des cercles passant par l'origine, on trouve, pour leurs trajectoires orthogonales, les courbes

G| =: arc sin -i- — h 4 / — ; i .

il. Déterminer les trajectoires orthogonales des courbes représentées par Inéquation

(i) «r*-T-j'- — 'il-r -r- a^ — Of

Â étant le paramètre variable,

(Bordeaux, novembre i88o.)

L'équation (i) représente une famille de cercles ayant leurs centres sur O2: et tels que le rapport des distances des divers points de l'un quelconque d'entre eux à deux points fixes A et B est constant; ces points A et B sont situés sur l'axe des Xy de part et d'autre de l'origine, à la distance a.

ViLLiË. — Compositions. 4

5o PRBMIÈRE PARTIE. — CnAPITRE IV.

Leur équation diflTérentielIe est

et celle de leurs trajectoires orthogonales

(3) 2-rj-^ — \- y^ — x'^ -- a> — o.

LV'quation (3) se déduisant de (2) par la permutation de X ely et le changement de signe de a^, on peut en conclure, a priori, que l'intégrale de l'équation (3) est

(4) r^-H^*— 2Cr — «*= o;

elle représente une famille de cercles passant par les points fixes A et B.

L'intégration de l'équation (3) est d'ailleurs immédiate, si on l'écrit sous la forme

2 >'( .r dx -h y dy) — ( ^'* -f- j?* — a'^)dy = o.

L'équation (3) rentre dans un type d'équations ne contenant que des termes de degré oet 2 parrapport aux variables j:* et^ et que Ton sait intégrer ; nous exposerons la méthode en l'appliquant à cette équation. Si l'on pose

du -^ l'équation (3) prend une forme linéaire en u et v^

qui donne par dérivation (n° 23) du dp

a(w — a») />(/>-i-i)(/>-Ka)

LIGNKS ET SURFACES ORTHOGONALES. 5l

d^OÙ

réliminalion de /? = __ ' __^ — - entre les équations (j) et (6) donne

VU — a* = aC ^^ — ^^ -f ,

(jui conduit à Téquation (4) précédemnient obtenue.

42. Trouver les courbes telles que, si par le point N oà une normale quelconque MN rencontre l'axe Ox on mène une parallèle à la tangente en M, cette droite passe par un point donné A sur Vaxe Oy,

Trouver les trajectoires orthogonales de ces courbes.

(Poitiers, juillet i88o.)

On voit, a priori, que ces courbes sont parallèles et admettent pour trajectoires orthogonales une famille de droites.

L'équation de la droite NÂ est

si l'on pose 0A==«, on a, pour Téquation différentielle des courbes,

et, pour celle de leurs trajectoires orthogonales,

. , dy /dy\i

Cette dernière est l'équation de Clairaut; elle représente la famille de droites

(3) ^ = Ca:~aC*,

enveloppées par la parabole

(4) ^^=ioy,

qui est solution singulière de l'équation (2).

L'intégrale de Téquation (i) s'obtient en dérivant

ce qui donne

d'où

Les équations (i bis) et (5) donnent les coordonnées r et X des courbes cherchées en fonction de la variable auxiliaire p,

43. Étant données des ellipses semblables ayant même sommet et leurs axes dirigés suivant la même droite, déterminer les courbes qui les coupent toutes sous un angle donné. Faire l'intégration :

i" Quand les ellipses se réduisent à des cercles; ->." Quand V angle donné est droit,

(Lille, juillet 1862.)

Si Ton prend pour origine le sommet fixe et pour axe des X Taxe commun, Téquation de la famille d'ellipses données est

k étant un paramètre variable; on en déduit, pour Téqualion difTérentielIe de ces courbes,

(a) xa^xv-T- -^ b^JT' — «2^2=0.

- dx

Soit m la tangente de l'angle sous lequel les ellipses sont coupées par les courbes cherchées (C); on a

iVoiij pour l'équation difTérentielIe des courbes (C),

(3> '?.a'-xy{±:m^ ^^ j ^ (6î;r2 «s ,.2) ^i =p m ^^ = o.

Celte équation, étant homogène, représente une famille de courbes semblables ayant l'origine pour centre de similitude; on l'inlègre en posant

d'où l'équation

dx 2a^z ±: m(a^z^ — b^) ,

*^ T "" a^zi~~ b* ± mz{aiz*-^ aa^— b^) " °*

Le problème est donc ramené à la quadrature d'une fraction rationnelle, et sa solution ne saurait être poussée plus

loin, puisqu'il faudrait connaître les racines du dénoinina> teur^ qui est un polynôme du troisième degré en :;.

1° Si les courbes se réduisent à des cercles, a = b ci l'équation (4), en prenant d'abord les signes supérieurs, devient

(j) i- — r dz = o

X {mz -r-\){,Z*-^l)

cLr ^zdz mdz

dont l'intégrale générale est, en rétablissant le double signe de m,

(6) x'-T-^'*= aC(j-dt /n^');

ce sont deux séries de cercles passant à l'origine et qui ont leurs centres sur les droites

( 7 ) V = rz mx.

a" Si l'angle donné est droit, m = oc , et l'on a dx a^z^—b* ,

que l'on peut écrire, en décomposant en fractions simples,

- . ^ <£r b^dz a^dz a^ dz

(!ir?«— 6*) : -: =o.

^ ^ yb^ — aa* yb^ — aa*

dont l'intégrale est

ou, en coordonnées polaires,

C sin *«' ci> Si 6-<3ta*, ces courbes sont fermées; elles se con-

fondent et deviennent l'axe des a? si 6^= 2a^. Enfin elles ont des branches infinies qui se coupent à l'origine, si

44. On donne une sphère et une droite D, déterminer les projections sur un plan perpendiculaire à la droite D des trajectoires orthogonales des sections faites dans la sphère par les plans menés suivant cette droite,

(Paris, novembre 1876.)

La Géométrie conduit très simplement à la solution de

Fig. 3.

ce problème. Prenons pour plan normal à la droite O {fis- ^) c^Iu^ 9^^ passe par le centre O de la sphère; un plan quelconque, mené par la droite D, coupe la sphère suivant un cercle de diamètre AB, et les génératrices du cône droit tangent à la sphère le long de ce cercle, touchent

les trajectoires orthogonales de Afi; or les sommets C de tous ces cônes sont sur la polaire de D; les trajectoires orthogonales des sections telles que AB sont donc les cercles déterminés dans la sphère par des plans passant par la polaire CG du point D, et leurs projections sur un plan normal à D sont des ellipses ayant une corde de contact commune.

Analytiquement on a, pour Téquation de la sphère,

jr^ -h y* -^ js^ = r^ ; celle d'un plan sécant est

d'où

par l'élimination du paramètre variable m, on a les équations différentiel les des courbes d*intersection

(i) X dx -\-y dy -^- zdz^o, (j" — o-^ày — y dx = o.

Leurs trajectoires orthogonales satisfont aux équation!^

(2) XrfXH-YrfY-f-ZrfZ = o, dXdx^dXdy-^dl.dz=o\ or les équations (i) nous donnent

dx dy — z dz

la seconde des équations (2) peut donc s'écrire

( \ - a ) rfX -^ Y rfY -h ^{<^-^-^' dZ = o ou

(3) rtrfX^-(a\ — r»)^ =0

dont l'intégrale est

(4) aX — r«= CZ;

LIGNES ET SfJRFAGES ORTHOGONALES. bj

c'est l'équation de la projection des trajectoires orthogonales sur le plan des xz : elle représente une famille de plans passant par la droite fixe CIC, dont les équations sont

Ces plans coupent la sphère suivant des cercles dont les projections sur le plan xOy ont pour équation

x..v..(-=iî)'...

(5) X2(a«-i-C*)-hG*Ys— aflrîX = r«(C«— r«},

équation qui représente une famille d'ellipses ayant leur grand axe parallèle à Oy, Ces courbes sont réelles si elles coupent l'axe des x^ ce qui donne la condition

toujours vérifiée si r <C a, c'est-à-dire si la droite D ne coupe pas la sphère ; dans le cas de a <C /% elle exprime que le plan (4), qui passe parla polaire du point D, rencontre la sphère donnée.

io. Étant donné le paraboloidc elliptique

X' r* iz

déterminer les projections sur le plan xOy des trajectoires orthogonales des sections de la surface par les

plans qui paissent par son axe.

(Paris, juillet i88a, 2* question.)

En procédant comme dans le problème qui précède, on trouve pour les équations diflTérenti elles des courbes de

section par des plans menés par Taxe

, . T dx y dr dz dx dy

que l'on peut mettre sous la forme

X dx y dy , , . dx dy p^ q* dz

X y x^ y^ iz

d'où, en substituant dans l'équation,

( x ) ^X dx -^ d\ dy -^ dZ dz = o,

(3) \d\^\d\ ^-^ZdZ^o,

dont Tintégrale donne les ellipsoïdes

aplatis et de révolution autour de OZ; ils coupent le parabol oïde donné suivant les trajectoires orthogonales cherchées. L'équation générale de la projection de ces courbes sur le plan des xy est

Ce sont des courbes du quatrième degré, symétriques par rapport aux axes coordonnés et dont l'équation, en coordonnées polaires, est

elle n'admet qu'une racine positive en p^. En la mettant sous la forme

si <7 </?, on voit que p^ est d'autant plus petit que sin*(»>

est plus grand; les axes des courbes (5) sont donc dans le même ordre de grandeur que ceux de Tellipse de section du paraboloïde par un plan parallèle au plan des xy,

46. Déterminer les trajectoires orthogonales de Vun des systèmes de génératrices rectilignes d^iin hyper boloïde de révolution à une nappe.

(Paris, juillet 1876, a® question.)

Nous définirons Thyperboloïde par le rayon r de son cercle de gorge et l'angle y que font les génératrices avec Taxe; nous prendrons pour variable indépendante l'angle 6 que fait avec une droite fixe Ox, menée dans le plan du cercle de gorge, la plus courte distance d'une génératrice et de l'axe Oz de l'hyperboloïde.

Les équations des deux systèmes de génératrices sont

dbsiiiYsinÔ i^sinYCOSÔ cosy

Les trajectoires orthogonales de ces lignes satisfont donc aux trois équations

idxsm^ — ;c(^cos6 . : dz coi^( — o, . , X = r cos6 r^ j tangy sin6,

( ^ = r sînO '-:: z tangY cosO.

Des deux dernières on déduit

dx sin6 — dr cos6 = rb dz tang -; — /• ^6,

d'où

rd^ — dzdz{ tang 7 4- cot y )•

Cette équation, en l'intégrant, donne

qui, avec les deux dernières équations (2), détermine la famille des courbes cherchées.

6o PREUIÈKE PARTIE. ' — CHAPITRE IV.

On voit que chaque courbe monte en spirale sur Vhy perboloïde, z croissant ou décroissant proportionnellement à Q, suivant le système de génératrices rectil ignés que Ton considère. De plus, les courbes de l'un des systèmes se déduisent de Tune d'entre elles en portant une longueur constante sur chaque génératrice. Ce fait est général pour les trajectoires orthogonales des génératrices d'une surface réglée; car, si l'on considère le quadrilatère gauche formé par deux quelconques de ces trajectoires et deux génératrices infiniment voisines, les longueurs finies de ces génératrices ne peuvent différer que d'un infiniment petit du second ordre, comme étant les projections d'une même diagonale sur chacune d'elles. Donc les longueurs interceptées sur deux génératrices à distances finies ne peuvent différer que d'un infiniment petit du premier ordre et sont par suite égales ; la même propriété se conserve d'ailleurs en projection sur le plan du cercle de gorge.

Les équations de la projection de celles de ces courbes pour laquelle C== o sont

^ X = r(cos6 -+- sin6 sin^y)»

/ y = /'(sin6 — 0cos6 sin*Y)î

un point quelconque xy de cette courbe s'obtient en portant sur la tangente au cercle de gorge, à partir de son point de contact, une longueur r6 sîn-y, proportionnelle à Tare r8 correspondant. On peut encore considérer cette courbe comme étant la projection des divers points de la développante du cercle de rayon rsin^y, sur les tangentes au cercle de gorge, les points correspondants des deux courbes étant situés sur des tangentes parallèles. Toutes les autres courbes se déduisent de celle-là, soit en portant une longueur constante sur les tangentes au cercle de

LIGNES ET SURFACES ORTHOGONALES. 6l

gorge, soit en faisant tourner celte courbe autour du point O.