Trouver Inéquation générale des surfaces qui
coupent à angle droit les sphères représentées par
r équation
j»s i v--i- z^ — laz = o,
ow a est un paramètre variable.
Déduire du résultat obtenu quelques systèmes formés de trois familles de surfaces triplement orthogonales.
(Paris, novembre 1869.)
Soient F = o l'équation générale delà famille de sphères,
:; z=,f(x^y) celle d'une surface les coupant à angle droit;
on doit avoir
d? df ^ df d^ - (Ix dx dy dy dz
OU
dz dz
qui, par Félimination du paramètre variable a, devient
dz dz , , ,
{'X) 2XZ-, -^ 7.rZ —, X^-T-V' — -3= = O.
dx -^ dy
On intègre cette équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre, en posant
dx dy dz x dx -^ y dy ->r z dz ^
^' 2XZ ~" lyz ~ z^ —x^—y^ "" z{x^ -^ y^ -^ z^) *
d'où
dx i( X dx -^ y dy -^ z dz)
X x^-{-y^-hz^
dy ^{x dx -^y dy -^ zdz) y ^ ar* -h /* -+- z*
et, en intégrant,
(4) ^^=zr,^-Ti' C'= •''
L^équation générale des surfaces coupant à angle droit les sphères données est donc, en désignant par ^ une fonction arbitraire,
C) c^(c,c')-cï>/^ — f. — y ;) = o.
Soient maintenant deux familles de surfaces
pour qu'elles forment avec les sphères données un système triplement orthogonal, il faut et il suillit que Ton ail identiquement
ou bien
rfcp d^ do d'}^ do d^ dx dx dy dy dz dz ~
Id^ dC d^ ^'\/^ ^'^^ ^ ^^\
\dC dx'^ dC dx )\dC7Ù:^ dC (ix )' "^
et, en développant,
dff d^ w^y f^y f^y]
dC dC l\dx) '^\dy) '^\dz) J
y do d^ [/ dCy /dC/y /dCyi '-' \^dcà'-^[\-d^)-^Klfy) ^'\^)\
/do d^ do^ d^\ /d^ dC^ dCdCy dC d(V\ "*" \dC dC "^ dC dc) [dx dx '^ dy dy ~^ dz 'dlj " "'
Or on a
/r/C\î fdCY /dCy
dC dC dC dC dC dC ^ dx "Sx dy dy dz dz ^ '
réqaation (7) se réduit donc à
d^ d^ do d^ ' dÙ dC '^ dC' dC' " '*'
<|ui exprime, si l'on considère C et C comme des coordonnées, que les courbes f et ^ sont orthogonales.
Il résulte de cette équation que, la fonction cp étant arbitrairement choisie, on peut toujours trouver la fonction 'l correspondante; il existe donc une infinité de systèmes orthogonaux dont fait partie la famille des sphères proposées.
Nous appliquerons ce qui précède à trois exemples :
5G~'* dt'
i\'quation (8) devient
d*l yp = o, 4' = X(G') = o OU C'=const.,
ce qui donnera le système triple orthogonal
lormé de sphères passant par Torigine et ayant leurs centres sur les axes coordonnés.
ip(C,C') = ~-a=:^-a = o;
iVovL Téquation aux dérivées partielles
C ^ 1 ^ - C« rfC "*■ G dC "■ ®'
'KC,G') = x(G*-+-G'«) = o, C*-i- C* =s const. = wr ;
64 PREMIÈRB PARTIE. — CHAPITRE lY. — LIGNES, ETC.
d'où le système triple orthogonal
qui comprend, outre la famille des sphères données, une série de plans passant par O^ et une famille de tores engendrés par la rotation autour de 0.2 de cercles tangenls à cet axe au point O.
qui représente, si C et G sont regardés comme des coordonnées, des ellipses homofocales; on en déduit, pour la fonction ^, les hyperboles homofocales
Nous avons donc le système triplement orthogonal
f~ -^ W- fi2 = (j^'H-r'-^---;-.
RATONS DB COURBUBB ET LIGNES DE COURBURE. 6j
