RAYONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE

48. Donner une méthode pour avoir les courbes dans lesquelles le rayon de courbure r est une fonction donnée de V angle a que la tangente à la courbe fait avec une direction fixe

Application aux cas où f{^) = a ces a, /(a) = - ,- •

(Clermont, juillet 1880.) Prenons la droite fixe pour axe des a:; on a les formules

r = -j- ^ dx = ds cos a, cÇ^ = ^5 sin a ;

on en déduit

dx =f{i) cos %d%y dy = f(%) sin 7, doi ety en intégrant,

T = Xo -!-//( 2) cosa^a, y =7o-^//{«) sinarfa.

On voit que toutes ces courbes s'obtiennent en transportant Tune d'elles parallèlement à elle-même. 1° /(a) = acosa,

x= a/cos*ac?x -t- x© = - (ax-H sinia),

7 = -/sinax^x-i-j'o = 7 (« — cos2x), 2 4

en faisant Xq = o, ^0 =: - •

ViLut. — Compositions. 5

66 PREXIÈRE PARTIE. — CHAPITRE Y.

Soit 2CL = — p, nous aurons

x=?(? — sin?), 7=^(1 — cos?):

ce sont les équations d'une cycloïde engendrée par un cercle de rayon -9 roulant sans glisser sur Taxe des x.

2" /(a) = -—rr ; faisant Xo = o, ^„ = o, on a

cos*a

— aa =

cos*a cosa

On en déduit

e'* = lang

r''=cot(j-H?),

cosa a

On a donc

équation de la chaînette.

49. Déterminer la courbe G de façon que le rayon de courbure ren un point quelconque M de cette courbe et l'arc s = AM, compté à partir d'un point fixe A, vérifient la relation

dans laquelle a désigne une ligne donnée.

(Paris, juillet 188a, 1* question.)