X CLX
quantités d-^ = -j^^dx et rf— = —^ — f '- aient même
signe; le signe supérieur de Téquation (1) convient donc au problème proposé.
RATONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE. 6i)
L^équalion (i), mise sous la forme
dx^ X dy — y dr
s'intègre une première fois et donne
dv Y
2arctan£; -7- = arctan<; - -h w»
dx ^ X
ou
(a) 2a = (D -4- Wq.
Or Tangle V que fait la tangente à la courbe avec \v rayon vecteur est donné par
V = a — (D = — J((o — tuo),
d'où
,, dtù , , .
lang^ =?^- = — tangj(a) — tuo),
ce qui donne la famille de courbes semblables
sin* J-(ci> — (uj)
Pour opérer la vérification demandée, ap := rsinV, on a les formules
Téquation à vérifier est alors la suivante :
Les courbes obtenues doivent donc satisfaire à Tune quelconque des deux équations
<6) ,,..s(^)'-..,gi...
Dans le cas actuel, c'est Téquation (5) qui est satisfaite.
Le signe inférieur de Péquation (i) correspond à un
autre problème précédemment énoncé; la famille de
courbes qui satisfait aux conditions de ce second problème
est
sin' - (o) — (Oo) 2 ^
elle vérifie l'équation (6).
51. Déterminer une courbe C telle que, si Von forme une de ses transformées C| par rayons vecteurs réciproques, relativement à un pâle donné O, les rayons de courbure en deux points correspondants M et Mi des deux courbes G et G| aient un rapport constant.
(Paris, juillet 1875.)
On dit que la courbe C| est une transformée par rayons vecteurs réciproques de G, par rapport au pôle O, lorsque le produit OM.OMi des rayons de même direction, issus du point O, est constant.
Donnons d'abord une relation entre le rayon de courbure r, le rayon vecteur p et la distance p de la tangente
à l'origine. On a
ds ds
doL dtù-^dW* mais
xr dp . . prfcO
cosV= t!-> sinV=-j— ; as as
