RATONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE. 7I

on en déduit, en éliminant ds et diii,

cos V rfto H- ces V dW

pdp p do p dp

~~ s\n\ dp -^ p cos V d\ ~ rf. p sin V ~ dp

Si Ton désigne par k le rapport constant des rayons de courbure aux points M(p, a>) et M|(R, to), Téquation de condition sera

pdp __ kRdK ^'^ d,p sin\ " <;.RsinV'

en remarquant que les angles V en ces deux points sont supplémentaires. On a d^ailleurs, par définition, Rp ^ a^,

d'où dR = jû?p; substituant dans Téquation (i), elle

devient

p dp ka** dp

On tire de là

d.psxnV , j «' • ,r

^ p^ d. — smV

</sinV __ ^* — kà^ y/ — ^? ipdp

sinV ~ p(p*-i- X:a*) ^ ~~ p p*-HAa*

et, en intégrant et posant ka^ = 6^,

(2) sinV='^— — -;

icp

on a aussi

du) = -^ tangV.

De la première on tire

p = csin V ± /c* sin* V — b*

et, par conséquent,

dp = ccosVi i± , 1 rfV;

\ /c«siii«V-6V

72 PKElltlE PAITIB. — CBAPITRE T.

éiî minant p et e/p, on a la relation entre a> et V

- i^csinV ...

aco = - —^ ^ a\ ,

\ c* — ù- — c* cos* V

dont Tintégrale est

/i\ rco«iV

( 3 ) co — Wo = arc cos

Si Ton élimine V entre les équations (2) et (3), on a

Rapportant celte courbe à des axes rectangulaires, tels que Ox fasse avec l'axe polaire l'angle arbitraire Wq, on a

équation qui peut s'écrire

(4) (x« -hy^ -h 27 v^c» — 6« —6») (x* -h /= — aj'/c»— 6*— 6î)=o.

Ce sont deux circonférences de même rayon c se coupant sur l'axe des x aux points it 6 = z!zrty/^. La famille des courbes G, qui comprend aussi leurs transformées C|, se compose donc de circonférences telles que, si A est le centre arbitrairement choisi de Tune d'elles, cette courbe coupe la droite O.r normale à OA, à une distance OB^a^k; sa transformée a son centre en un point A|, situé sur la droite AO, de l'autre côté du point A; elle coupe la proposée au point B; enfin le rapport de leurs rayons est A*.

La méthode que nous venons d'employer est assez simple, mais peu naturelle, et le résultat auquel elle conduit ne donne pas immédiatement la solution géométrique du problème. Nous allons traiter la question directemenl.