RATONS DE COUHBURB ET LIGNES DE COURBURE

L'équation de condition

„, Mm' ,: ["-(©■]

devient, par l'élimination de R à l'aide de la relation R = - > en posant, comme précédemment, ka^-^ 6*,

(6) p(p.+ 6.)g-,6.(^)Vp.(p.é.) = o,

équation dans laquelle co ne figure pas; elle devient, si Ton prend comme fonction inconnue :? = ( -r- ) ,

cette dernière est linéaire en z et son intégrale est

— fc-p.-^;)

ou

±:doi =

rfo-— :- ^(^-7)

^ ( o) — <*>a ) = arc cos t=^ —

qui, si Ton pose y'C — 26^ = 2^^^^* — b-y donne la famille de cercles

^9) p* — 2p^C^ — 6*C0S((0 — Ci>o) — ô*=o.

52. On donne le paraboloïde hyperbolique défini en coordonnées rectangulaires par V équation s = ^, dans

74 PRBXIÈRB PARTIE. — CHAPITRE Y.

laquelle C désigne une constante. Déterminer les lieux des centres de courbure des sections principales qui correspondent aux divers points de Vaxe des x,

(École Normale, juillet i883| i** question.)

Si, suivant les notations habituelles, on pose

dz ^ dz ^ d^z d^z ^ d^z

~dx ~~P' djr - ^' dxi " ''' dxdy~^' dyi " ''

on a y pour le paraboloïde proposé,

les équations de la normale au point Xq de Taxe des x

sont donc

et toutes les normales à la surface aux divers points de Taxe des x sont sur le paraboloïde hyperbolique

•vin

LVquation qui donne les rayons de courbure principaux

çt'^{rt — 5») — p/i -^/>*-f- 5r*[(i -+-/?•)< — iLpqs H- (i -4- q^)r]

devient

d^où Téquation

qui, par Télimination de j^ avec T équation (i), devient