BATONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE

Signe que s,

d*où Téquatioa

<|ui est celle d'une ellipse concentrique à Tellipse E et ayant mêmes directions d*axes.

54. On donne les deux sur/aces définies en coordonnées rectangulaires par les équations

z = a arc tang — (hélicoïde gauche) et

sur/ace engendrée par la rotation dUine chaînette autour de l'axe Oz.

Soient

M un point de la première sur/ace; Mi un point de la seconde; H l'angle du plan MOZ as^ec le plan ZOX; / la distance du point M à Vaxe OZ ; ^1 U angle du méridien M| OZ avec le plan ZOX ; 1 Uarc PCS\x de ce méridien compris entre le point M, et Véquateur de la surface.

On dit que le point M| de la deuxième surface correspond au point M de la première lorsqu'on a 8| = 6, or= /; le point M décrivant une courbe C sur la première surface, le point M, décrit une courbe correspondante C| sur la deuxième surface :

i" Démontrer que les arcs correspondants des courbes G et Cl ont même longueur;

78 PRBMIÈIE PARTIE. — CHAPITRE T.

2** Démontrer que les produits des rayons de courbure principaux en deux points correspondants sont égaux.

(Paris, novembre 1879.)

Nous calculerons d'abord Tare a-; mettant Téqualion de la seconde surface sous la forme

on a

d'où

(1) ff = - \e~'— e""") = /p«^^* = /.

1^ Pour démontrer Tégalité des arcs correspondants 5 et S\ des courbes G et Ci, il suffit de prouver que ds = dsi.

ds^ = dli-hl^d^i-^dz*y

d'où, en remarquant que l'équation de l'héllcoïde gauche est 3 = a6,

on a de même, pour la seconde surface,

ds\ =z di^ -h p^ d^* ; donc, à cause de /= o*, on a bien ( !i) ds =^ ds ly s = Si.

2" Le produit des rayons de courbure principaux en un point d'une surface est donné par la formule

(3) P.P«= ' rf-/ '

appliquant à l'hélicoïde z =a arc tang - et remarquant

RAYONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE. 7g

que x^-\-jy^= Z^, on trouve

ay ax . , a-^ /*

d'où enfin

(4) PiPt =

La seconde surface, étant de révolution, a pour rayons de courbure principaux la longueur de la normale limitée à Taxe de révolution et le rayon de courbure du méridien ; ces deux lignes sont égales en grandeur absolue et leur

produit est — ^: c'est-à-dire le même que pour l'héli-

coïde, en Vertu de la relation (i).

00. i" Former V équation du second degré qui donne les rayons de courbure principaux en un point quelconque du paraboloïde défini en coordonnées rectangulaires, par l'équation

2** Exprimer, en fonction de la variable z, chacun des deux rayons principaux, pour tout point de la ligne de rencontre du paraboloïde proposé avec le paraboloïde défini par l ^équation

(Paris, juillet 188 1.)

I*» On a Téquation qui donne les rayons de courbure principaux

8o PIIEMIÈRB PARTIE. — CHAPITRE V.

est

2" Les coordonnées x et jk de la courbe d'interseclion des paraboloïdes sont données en fonction de z parles formules

d*où

or de Téquation (3) on tire

r^i/àv^^^-*-«-^^~^['-('-5:ri^

et enfin

Le rapport ^ est rationnel et linéaire en2

,^. Pi 9-j-ha-i-6 — X