RATONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE

j j . / . GsinaN , ay = €lx tangs = ( — a sina h j- j d%

et

(y) dx = ( — acos a H ) rf«,

\ cosa/

(8) a? = — asinsH- Glogtangf - H — );

Taddilioa d^une constante à x répondrait à un transport de la courbe parallèlement à l'axe de révolution. Il suffit d'ailleurs, dans la discussion, de donner à a des valeurs positives, la courbe étant symétrique par rapport à Taxe des y. Nous distinguerons trois cas :

1 ** C = o ; on a le cercle de rayon a.

2" C >• o. Pour a = o, j? == o, ^ = a + C, ce qui exige C^a, sans quoi Tun des rayons de courbure principaux serait supérieur à 2 a. Quand a croît, dûC commence par

être négatif: il en est donc de même de ^; e/j; s'annule pour

cos^ai = - et devient ensuite positif; il y a, au point cor-

respondant de la courbe, un rebroussement de première espèce; mais la seconde branche, qui va à Tinfini, est parasite, attendu qu'elle tourne sa concavité vers les j' positifs (Jiff' 4)« Comparons les diverses courbes que l'on obtient en faisant croître C de zéro à a; soient — x^^ y\ les coordonnées du point de rebroussement de la courbe.

j'i = 2\/aC croît de zéro à 2a, Xi décroît de a à zéro,

puis ai décroît de - à zéro. Enfin, si Ton cherche les points

de ces courbes pour lesquels les tangentes sont parallèles à une direction donnée a, on trouve que^ est d'autant plus grand et — x plus petit que G est plus grand, ce qui indique une courbure plus prononcée des courbes à mesure (|u*ellcs s'éloignent de l'axe de révolution.

3^ C •< o. Mettant en évidence le signe de C, nous écrirons

(6bù) (y bis) (S bis)

y = acosa

coss

dx

cosa

coss

jrfa,

x = — I a sin 9 + G log tang ( t -+- - ) 1

Pour a = o, ;r = o, y = a — C; C doit être compris entre zéro et a. Quand a croit, x est négatif et croît en

Fig. 4.

valeur absolue, y va au contraire eu décroissant et, comme nos formules supposent jK>o, la valeur maximum

a, de a est donnée par cosai = -; les valeurs supérieures