RATONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE
de a fournissent une branche parasite. Les pôles de la surface de révolution sont donc des points coniques. Étudions les variations du demi-axe polaire ^i quand C varie de
zéro à a, ou ai de - à zéro :
(9) a?, = a/(a|) = a sina|-+-cos«ailogtang^^ -+- ^j ,
(10) /'(a) = 2C0sa I — sinalogtang^j -+- ?j ;
pour ai = o, j^i = o ; quand ai croît, il en est de même de X|, jusqu^à la valeur a déterminée parTéquation
sinalogtangf j -+- ?j =1;
TT
Xi décroît ensuite jusqu'à devenir égal à a pour ai = ~
57. Déterminer les lignes de courbure de la surface représentée, en coordonnées rectangulaires, par l'équation
e^= cosrrcos^.
(École Normale, juillet 1875, i'* question.)
La coordonnée z n'est réelle que si cosj; et cosjk sont de même signe, c'est-à-dire que, si x est compris entre (k dz ^)tZj y doit être compris entre {k'± ^)tz, k et k' désignant des nombres entiers de même parité. La surface située tout entière au-dessous du plan des xy se composera donc d^une infinité de parties identiques se projetant sur des carrés égaux de côté tt, disposés comme les cases de même couleur d'un damier, et l'un de ces carrés ayant son centre à l'origine.
L'équation différentielle des projections des lignes de courbure est, en général,
dx -^ p dz __ dy -^ q dz dp " dq '
86 PREXifeRB PARTIE. — CHAPITRE T.
or, pour la surface proposée,
/> = — langar, q— — tangj ; d*où Téquation
dv^ cos'x — ûTr* cos*r = o ou ---— = zh
et, en intégrant, les deux familles de courbes
tang(^ + f) = C»tang(j-î),
qui passent, les premières par les extrémités des diagonales parallèles à la bissectrice des axes, et les secondes par les autres sommets des carrés.
58. Trouver les lignes de courbure de la surface développable, enveloppe du plan mobile représenté en coordonnées rectangulaires par V équation
oà a est un paramètre variable, ç(a) une fonction arbitraire de ce paramètre et R une constante donnée. On fera voir : i° que les génératrices rectilignes constituent un premier système de lignes de courbure, comme dans toutes les surfaces développables ; a** que les lignes de courbure du deuxième système sont situées sur des sphères concentriques à la sphère qui touche le plan
mobile.
(Paris, août 187 1.)
La ligne de contact de la surface proposée avec la sphère de rayon R est une ligne de courbure du second système^ car cette ligne est normale à une génératrice quelconque, qui est Tintersection de deux plans tangents à la sphère el
