RATONS DE COURBURB BT LIGNES DE COURBURE

înGniment voisins. Toute ligne obtenue en portant une longueur constante sur chaque génératrice, à partir de la ligne de contact, est aussi ligne de courbure; or une telle ligne est évidemment sur une sphère concentrique à la première. Reprenons la question analytiquement. La surface développable est représentée par les deux, équations

I^ = aa7H-7<p(a) -+- R/i-H «*-+- ç'(a), 0= a? -H7<p («)-+- K- — .^z^ '

DiiTérentiantla première et tenant compte de la seconde^ on a

(a) dz =i oi(ix-^^{oL)(fyf

d'où

p = a, gr = ?p(a).

L'équation des lignes de courbure devient

{dx-Jr % dz) ^' (ol) doL = [djy-h ^{oL)dz] doL^

d'où la solution daL = o ou aL = const., qui donne les génératrices rectilignes de la surface comme lignes de courbure du premier système. Les génératrices du deuxième système satisfont à l'équation

dT-^adz^djr^^(^)dz

Si l'on multiplie les deux termes du premier rapport par X, ceux du deuxième par j', et que l'on ajoute terme à terme, puis que l'on répète cette opération en employant comme facteurs a et f (a), on a

or ce dernier rapport, en vertu de la seconde des équa-

88 PRESIÈRE PARTIE. — CHAPITRE T.

lions (i), est égal à

d'où Ton déduit

T €/x -+-7 é/j -+- rf-5[aa? -+-7<p(a)] = — R/ih- 3t*-i- ©*(3f ) ^^t

ou, en tenant compte de la première des équations de la surface,

(4) xdx-^y(ty-\'zdz = o,

Réciproquement, si les lignes de courbure du second système de la surface développable

i z= aj: -4-70(2) -4-^/(a), (i6«) < , ,,^

sont situées sur des sphères ayant l'origine pour centre, ^(a) aura la forme indiquée. En effet, les équations (2), (3) et (ibis) subsistent et cette dernière, en tenant compte de (4) et de (i bis), devient

4^(a) __ r -^ a'-+- îp'Ca) ou, en intégrant et désignant la constante par R,

^/(a) = R/i-r-a*-h«pHa).

Dans le cas de R nulle, les surfaces en question sont des surfaces coniques quelconques ayant Torigine pour sommet commun.

59. x^y, z étant les coordonnées rectilignes, a^ by ol, 3 des fonctions d'un paramètre variable, on demande les conditions pour que la droite x = aZ'\'(Xyy = bz-\-P^ engendre une sur/ace développable dont les lignes de