RAYONS DE GOCEBURB ET LIGNES DE COURBURE

courbure normales aux génératrices soient situées sur des sphères concentriques.

(Paris, juillet 1872, 2* question.)

Eo exprimant d'abord que deux génératrices infiniment voisines se rencontrent, on a la condition

da doL

qui exprime que la surface est développable.

Si Ton différentie totalement les équations de la droite et que l'on élimine ensuite z, on arrive à Téquation

(il) dz(b da ~ a db) = da dy — db dxy

d'où

^ — db __ da

^ ~ b da — a db^ ^ ^ b da — adb^

, b(dbd*a-'d ad*b) ~ a{db^d*a~ dad*b)

^ ~ (bda adby ' ^ ~ {bda~^^^dby~

Si Ton substitue dans l'équation difTérentielle des lignes de courbure, on remarque qu*elle est satisfaite quand le paramètre variable reste constant, ce qui donne les génératrices rectilignes pour le premier système de lignes de courbure.

Le second système satisfait à Téquation

, / , dadz \ __ i db dz \

X*^ b da — adb ) ~' \ b da -adb )

< 3 ) a dx -h b dy -^ dz = o,

que Ton aurait pu écrire immédiatement, puisqu'elle exprime que ces lignes sont les trajectoires orthogonales des ^génératrices. La condition pour que ces lignes soient sur

go PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

des sphères ayant Porigiae pour centre est

X dx -Jny dy -^ zdz = o

(az -h a) dx -i- {bz -^ ^) dy -h z dz =^ o;

cette équation devient, en tenant compte de (3),

(4) adx -^^dy = o.

Éliminant enfin dx^ df et dz entre les équations (2), (3) et (4)9 on arrive à la seconde condition

60. On considère la surface enveloppe de la sphère représentée par V équation contenant deux paramètres arbitraires a et b

¥ et ^ étant deux fonctions données quelconques. Trouver les lignes de courbure de cette surface» On montrera que les lignes de courbure sont des

lignes planes et que les plans de l'un des systèmes sont

parallèles au plan desyz.

(Toulouse, novembre 1880.)

La Géométrie mène assez simplement à la solution de cette question ; il est d^abord facile de voir comment est engendrée la surface enveloppe. Le lieu des centres des sphères est le c)^lindre

Or, si Ton considère une génératrice quelconque du cylindre et les sphères ayant leurs centres sur cette génératrice, le rayon de chacune d'elles étant fonction seulement de la coordonnée j; =■ <2 du centre, il suffira de déplacer cette génératrice sur le cylindre, de façon que sa trace sur le plan des^'5 parcoure la courbe (2), pour que toutes les

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sphères entraînées avec la généralrîce touchent la surface ; celle-ci est donc le Heu de la courbe enveloppe des sections des sphères par un plan normal au cylindre le long d'une génératrice rectiligne. L'une quelconque de ces génératrices planes de la surface est alors ligne de courbure, puisque les normales à la surface, qui sont celles de la sphère aux points où elles la touchent, sont dans ce plan normal. D'un autre côté, les sections de la surface par des plans parallèles au plan des^^ sont évidemment les trajectoires orthogonales des génératrices planes de la surface ; elles constituent donc la seconde série de lignes de courbure. On peut d'ailleurs voir directement que ces courbes, qui sont parallèles à la section correspondante du cylindre, sont telles que les normales à la surface enveloppe en deux points infiniment voisins de l'une d'elles se rencontrent. En effet, les projections de ces normales sur le plan sécant, limitées à leur point de rencontre, diffèrent d'un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, puisqu'elles sont normales à la courbe (a); ces normales coupent la parallèle à Taxe des x menée par le point de rencontre de leurs projections, en deux points distants également d'un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, puisqu'elles font le même angle avec le plan sécant; elles se rencontrent donc.

Pour étudier la question analytiquement, nous remarquerons que la forme ordinaire de l'équation différentielle des lignes de courbure serait ici d'un emploi peu commode, puisqu'elle suppose que le z de la surface est explicitement donné en fonction de x et^; nous nous servirons d'une autre équation de forme très simple, due à O. Rodrigues. Voici comment on l'établit.

Soient

x^yy z les coordonnées d'un point M de la surface;

Xy Y, Z les cosinus directeurs de la normale à la surface

en ce point; X -h dx^ y H- dy, z -\- dz les coordonnées d'un point M|

infiniment voisin appartenant à une lig^e de courbure

passant par M; C le point de rencontre des normales en ces points.

Le triangle CMM| est isoscèle en négligeant les infiniment petits d^ordre supérieur au premier. Si donc on projette ce triangle sur Ox^ on a, en appelant R la distance CM,

rfj7 = R dX ;

d'où les équations

^^^ dX" d\ " dZ"^'

R étant le rayon de courbure de la section principale correspondante.

Cela posé, pour déterminer la surface considérée, il faut à l'équation (i) joindre les deux suivantes :

!r — an- ç><p' = o,

qui permettent d'exprimer en fonction des deux paramètres a et 6 les coordonnées d'un point quelconque de la surface enveloppe.

/î — o'« [y = 6::^ <pFy'ir^;, = 6 - oF'«,

en posant, pour simplifier, u = ± i/ —r^'

Comme, d'ailleurs, la normale à la surface au poinl

RATONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE. qS

Xy y^ z est aussi normale à la sphère de rayon ç et dont le centre a pour coordonnées a, h et F(6), on a

appliquant les équations (3) des lignes de courbure, il vient

La dernière peut s'écrire

F'uff'da — db u^'da^ F' dh

(8) (i-^F'i) db du -^ uF'dbiu^' da -^ F' db) = o,

d'où la solution db = Of 6=:const., qui donne comme première série de lignes de courbure les lignes planes

dont le plan est normal au cylindre (2).

Pour trouver la seconde série de lignes de courbure, 11 faut, dans l'équation (8), après avoir supprimé la solution db = o, substituer du^

(I -u F'^)o'o'da -4- (I — cp'«)F'F''rf^ a(i-h F *)'

ce qui nous donne, après simplification^

d'où la seconde série de lignes de courbure rfa ~ o, a = const., dont le plan

est parallèle au plan des yz.