CHAPITRE VI

UGNES ASYMPTOTIQUES ET UGNES GÉODÉSIQUES.

61. Recherche des lignes asjmptotiques et des lignes de courbure de la surface

z = mxy.

Angles sous lesquels les premières lignes sont coupées par les secondes.

Courbes suivant lesquelles ces deux sortes de lignes se projettent sur le plan des xy.

(Marseille, novembre 1880.)

L'équation diflerentielle de la projection des lignes asjmptotiques sur le plan des xy est

dp dx -^ dq dy =^ o\

elle devient, pour le paraboloïde proposé,

imdx dy = o;

d'où les deux familleis de lignes

( ar = C,, z = mCxy\ \y = ^u z = mCtX.

Ce sont, comme il était aisé de le prévoir, les deux séries de génératrices rectilignes de la surface.

En appliquant Téquation diflerenlielle des lignes de courbure, on arrive à

dy __ . dx

^ -H /i-H m'^« = C(±: a? -h /i-h /?i*ar*),

C étant une constante arbitraire, ces courbes appartiennent toutes à la famille d'hyperboles

Les lignes de courbure étant tangentes aux sections principales sont les bissectrices des lignes asympto tiques ^ puisque ces dernières sont tangentes aux asymptotes de l^hyperbole indicatrice ; si donc a est Tangle sous lequel se coupent ces deux séries de lignes, 2a sera Tangle que forment les lignes asympto tiques. Pour déterminer cet angle, il suffira de remarquer que les cosinus directeurs des deux génératrices rectilignes qui passent au point x, y^ ^ de la surface sont respectivement

I mx

my

d'où

V^i -h m'^y^ db y^i -r- m'^«

(3) cos2a =

± m'^xy