LIGNES ASTMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUES
iemenC celles de la seconde. Trout^er, dans cette hypothèse, les lignes asymptotiques de la surf ace sous forme
finie.
(Marseille, juillet i883.)
On a
d^où l'équation difiTérenlielle des deux séries de lignes asymptotiques
~ V ny)'
en exprimant qu'elles se coupent à angle droit, on arrive à l'équation
.-^f;-/'(x)-/'vr)^;=o.
que Ton peut écrire
dv dx
Le premier membre de cette équation est une fonction décret le second une fonction de y\ pour que l'égaKté puisse avoir lieu pour une infinité de valeurs de x et de y y indépendantes les unes des autres, il faut que les deux membres soient égaux à une constante a. On a donc
d'où
/(x) = tang(arp -h 6), /( J?) = log cos(aa7 -h 6) -h const.
et enfin, pour l'équation de la surface,
az = log --^ ' •
cos(a2r-l- h)
Toutes ces surfaces sont semblables à l'une des surfaces
cos^
ViLul. -^ Compositions.
g8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TI.
dont les lignes asymplotiques ont pour équation diflereotielle
COS^ COSJ?'
elles se confondent donc avec les lignes de courbure de la
surface
e*« = cosar cos^ (n' 37).
63. On considère la surface représentée en coordonnées rectangulaires par r équation
a étant une constante. Trouver ses lignes asymptoti--
ques,
(Toulouse, juillet 1880, i** question.)
L'équation différentielle des lignes as^^mptotiqucs peut
s'écrire
r dx^ -h 2 5 dx dy -\- 1 dy* =■ o ;
or, pour le conoïde proposé,
d'où l'équation
dy nxydzxy
dx "" x^
ce qui donne les deux séries de lignes asymplotiques
y = CiXy y=CtX^.
Les premières sont les génératrices reclilignes de la surface; pour toute surface réglée, les génératrices rectilignes constituent en effet une série de lignes asymplotiques.
64f. Une sur/ace est engendrée par la rotation d'une parabole autour de la tangente à son sommet. Déter-
UGNES ASYXPTOTIQUES ET LIGNES GÊODÊSIQUES. 99
miner la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe de révolution d'une ligne tracée sur la surface, et telle que le rayon de courbure de la section normale qui correspond à l'une quelconque de ses tangentes soit infini,
(Paris, août 1874O
Recherchons plus généralement les lignes asjmptotiques d'une surface de révolution autour de O^,
on a
d'où, en difTérentiant,
pdp -^pdp = /\p) dx -\- X /'(p) dpy pdq-^qdp =f{p) dy -+- y f\p) dp.
Multiplions ces équations respectivement par dx et dy et ajoutons-les, on a, en tenant compte de Téquation différentielle des lignes as^mpto tiques,
dp{p dx-^qdy) =/Xp) {dx*-¥- dy*) '^/\p)dp(x dx -^y dy),
qui, en remarquant que
pdx-^qdy — dz —f{p)dp, devient
f{p){dp*-dx*^dy^)-f{p)pdp*=o ou
L'équation différentielle des lignes asymptotiques, en coordonnées polaires, est donc
(i) ±idtù-dpi / —-^r-— '
Appliquant celte formule à la surface proposée
(•?.) z = ^iimp,
lOO PUMiftRB PARTIE. — CHAPITRE TI.
on a la famille de courbes
±(cD — <oo)= -p logp;
va
elles s^obtiennenl toutes par rotation autour de Torigine des spirales logarithmiques
ces courbes sont indépendantes du paramètre de la parabole.
65. Déterminer les lignes asymptotiques du tore engendré par un cercle tournant autour d^une de ses
tangentes.
(Paris, novembre 1882, 2* questioo.)
Prenons plus généralement le tore
on a
d'où
rdp
dtù = —
ci> est donné, en général, par une intégrale elliptique de première espèce. Pour le cas particulier donné, a = rj et Ton a, en faisant la constante nulle,
^ r do
expression qui s'intègre immédiatement en posant u= .,
Ui =
/^ du I / * du
± CD /à = log ( 4 ra — 3 -h 2 v^4r«a* — 6ra-h a ),
