On considère le conoïde défini par r équation

!• Former V équation différentielle des lignes asymptotiques du conoïde;

2® Intégrer cette équation;

3** Chercher quelle doit être la fonction ç pour que la projection de l'une des lignes asymptotiques, sur le plan des xy^ soit le cercle représenté par V équation

Quelles seront, dans ce dernier cas, les projections €les autres lignes asymptotiques,

(Paris, novembre i88o.) L'équation de la surface donne

L'équation différentielle des lignes asymptotiques est

102 PREMiftRB PARTIE. — CHAPITRE TI.

donc

H ?' ( — ) ( J'* dx^ — 2 J!^ dx dy-r-x^ dy^ ) = o,

OU bien

'XX dxo' { - \{y dx — xdy) -+- <p'( — ) (^rf> — jr</^)* =

Supprimanl la solution (2) y dx — xdy = o o\y — = consl.,

qui donne les génératrices, nous aurons

i(j-)dx-^^'(^{ydx^xdy)^o

dx 2 — =

l'équation du second système de lignes asymplo tiques est donc

='Kî)

Pour identifier cette équation avec celle du cercle (4) x^-r-y^=ay,

il faut prendre pour variables

3r = )/v, y — uypf\

LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUES. Io3

Féquation du cercle devient alors d'où, en identifiant^

qui, intégrée, nous donne

o(^] = — (arc tang ^ -^ , )■

Les autres lignes asymptotiques du même système que le cercle donné sont les cercles

équation dans laquelle K est une constante arbitraire.

La famille de conoïdes satisfaisant aux conditions de l'énoncé a pour équation générale, en coordonnées cylindriques,

(5) ^ = GC2Ù) — sinaw);

l'ordonnée z est la différence de celles de deux conoïdes dont l'un est l'hélicoïde gauche.

67. Soient Oo:, Oy et Oz trois axes de coordonnées rectangulaires et dans le plan zOx une courbe donnée C. Une surface est engendrée par une circonférence de cercle dont le plan est parallèle au plan xOvj dont le centre est sur la courbe G et qui rencontre constamment Oz.

On demande de former V équation différentielle des lignes asymptotiques de la surface en prenant pour variables la coordonnée z d'un point quelconque M et l* angle du rayon du cercle qui passe en ce point avec la trace du plan du cercle sur le plan zOx,

I04 PUUIlftU, PABTIE. — CBAPITMI Tl.

Appliquer au cas où la courbe C est une parabole

ayant le point O pour sommet et la droite Ox pour

axe.

(Paris, juillet 1880, a* question.)

Soit \=/{z) Téquation de la courbe donnée, l'équation du cercle géuérateur sera

XÏ-h^'t —

aXar

celle de la surface

en déduit