XX

pf\») =

multipliant les difTérentielles totales de ces équations respectivement par dx et dy et les ajoutant, on a, en tenant compte de Téquation dp dx -i- dq dy = o^

f (z) dz(p dx -^ q dy)

XY dv — r* dr , xdy — y dx ,

- ...» iL rfj..j -L r dy

OU

Si Ton transforme cette équation en coordonnées cylindriques, elle devient

que rvH\ j>eut écrire

LIGNES A8YMPTOTIQUE8 ET LIGNES GÉODÉSIQUES. lo5

dont rintégrale est

(3) tang

Cette formule cesserait d'être applicable, au moins sans changement de constante, si la fonction — r— devenait

COS-j"

discontinue : elle suppose donc que Ton fait varier 6 de — 7c à + Tc. On voit de plus que l'une des séries de lignes asymptotiques se déduit de Faulre par le changement de en — 6, c'est-à-dire que les lignes de l'un des systèmes sont symétriques de celles de l'autre par rapport au plan

Appliquant au cas où la courbe C est la parabole

on trouve

(5) ;. = Ctang(ï-5),

équation indépendante du paramètre de la parabole. Ces courbes passent à l'origine pour 8 = o et sont asymptotiques à la droite O^ qui fait partie de la surface, pour

68. Trousser Véquatioriy en coordonnées polaires , des projections sur le plan xOy des lignes asymptotiques de la surface réglée, définie au n° 9.

(École Normale, juillet iSSa, a* question.)

L'équation de la surface en coordonnées cylindriques étant

z -XaO— ^,

nous avons obtenu

Xasin6 cos6

XacosO sin6 q = ^-,

d'où

, sin6^ Xa, . a , ^ ».

dp =. — ^^^ 1 j-(sin8ap — pcosOcre),

, cos6rf0 Xa. . A m A r V

dq = r -y(P sinOtfo-T- cosO dp)\

d'ailleurs,

dx = cosO dp — p sinOcfB, dy = sinOé/p -h pcosO cTO;

Téquation dîQerentielle des lignes asymptoiiques est donc dp dx ^dq dy =—ïr cTO* rfp rfO = o.

La première solution, c/9 = o, 6 = const., nous donne les génératrices rectilignes, et la seconde,

des spirales hyperboliques.

69. Une surface de ré\'olution autour de Vaxe des z est définie en coordonnées rectangulaires par Inéquation z^= /{p)j dans laquelle p désigne la distance d^un point de la surface à l'axe :

i^ Tromper l'équation différentielle en coordonnées polaires, le pôle étant l'origine des coordonnées rectangulaires, des projections sur le plan des xy, des courbes tracées sur la surface qui jouissent de la propriété que le plan osculateur en chaque point de l'une d'elles comprenne la normale à la surface en ce même point;

2** Intégrer l'équation différentielle obtenue.

(Paris, novembre 1878.)