LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQDES. IO
La normale à la surface, qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à /?, y et — i , doit coïncider avec la normale à la courbe dont les cosinus di-
dcn d/v dz
recteurs sont proportionnels à rf-,- i rf^j ^T' ^^ devra donc avoir
ds ds ,dz
(i) = = — rf^T-»
p q ds
équations dont la dernière est une conséquence de la première. Or
Téquation diflerentielle des courbes proposées est donc
ou, en intégrant,
.dv jdx
xd-j y d -,- =0
ds "^ ds
dy dx
""Ts^^lTs-^'
équation que Ton peut écrire
(2) xdy — y dx = p^d(t} = Cds\
or
ds* = dp* -4- p* dit)* -!- dz* :
Inéquation différentielle des projections des lignes géodésiques de la surface sur le plan des xy est donc
/o, r fU-^f'H?)Ydp
( 3 ) co — coo = G / * — - -:^L- ■ •
J pv/p- — C*
L^équation (2) montre que Taire de la courbe projetée sur le plan des xy est proportionnelle à l'arc s de la courbe gauche dans l'espace.
I08 PREHifeBS PAITIB. — CHAPITKB TI.
70. Étant donné un cône de révolution^ on considère sur sa sur/ace une courbe telle que le plan osculateur à la courbe en l'un quelconque de ses points contienne la normale à la sur/ace en ce même point. Déterminer la projection de cette courbe sur un plan perpendiculaire à l'are du cône.
(École Normale, juillet 1869.)
Si l'on appelle a Tangle des génératrices avec l'axe, l'équation du cône est
tangz appliquant la formule du numéro précédent, on a
C r do 1 C
u> — (i>« = -. — 1 = — — arc cos — >
Toutes ces courbes sont semblables et asymptotiqae5 aux génératrices du cône pour
w = tao — ^
i $in 3
Pour trouver les transformées (R, Û) de ces courbes dans
le développement du cône, nous remarquerons que Tod a
la relation
pca = Rû
ou
cosinz = O;
les transformées sont donc les droites quelconques
COS^Si — l»o)
ainsi que cela doit être pour toute surface développable. 71. On donne un hé licoîde gauche dont l'équation,
UG5BS ASTSPTOTIQUES ET UGHBS GfiODÉSlQCBS. IO9
en coordonnées rectangulaires , est
Y z = k arc lang - •
On demande de déterminer les projections sur le plan
des xy des courbes tracées sur cette surface, de façon
que le plan osculateur, en un point quelconque de l'une
d' elles j comprenne la normale à la surface en ce même
point.
(École Normale, juillet 1876.)
Uéquation différenlielle de ces lignes est
K dxd^Y — dyd^x
( =p(dy d^z — dzd^y)-r- q{dzd^x — dxd^z);
d^ailleurs, pour l'hélicoïde gauche, on a
X = p costa), y = p sino), z = Arco, Xrsinco Arcosb)
si l'on substitue, dans l'équation (i), en prenant co comme variable indépendante, on arrive à Péquation différentielle du second ordre
Elle s'abaisse au premier ordre en posant
din)
d'où l'équation linéaire du premier ordre
I p«-^ A^ du . ,,.
a p dp \r / I
dont l'intégrale est
et, en revenant à l'équation (3),
, C du
v/(p^-4-A'*)(p*-hA-s — C*)
On est donc conduit aune intégrale elliptique. On arrive à cette solution en employant Téquation (i)du n° 69; on a
ky kx
d'où
,dz ds ds
ds ~ ky ~~ kx x^-^y^ x^-\-y^
.dx jdy
^ ds ds I ,/ dx dy\
^ k = l'^VVs -'rfFJ
et, en intégrant,
dx dy ^ ,dz ^
^ ds ds '~ ds '
équation que l'on peut écrire
— p* dîxi = A:' dtû — C ^ ou
(A:«-+-p«)</(o = G rf5 = G /( Aî -t- p« ) c^w* -i- rfp*,
qui conduit à l'équation (4).
La forme de la courbe dépend de la grandeur de la constante C :
1° G <C A*. Le radical de la formule (4) est toujours réel; p peut prendre toutes les valeurs possibles. Nous prendrons Wq = o pour p = o ; la courbe passe à l'origine, où elle est tangente à Ox. Pour p = oo , w est flni, car l'in-
téerale / — -^ 1^-^^^ - - - est finie. Pour recher-
1 V^(pi^A-2)(p«^^-.C>)
