On demande de démontrer qu'en posant
y = \ A^)dx, puis successivement
f xydx, y\= \ xy^dx, ..., yn= 1 xyn-xdx, V expression de yn sera donnée par la formule
(École Normale, juillet 1878, 2* question.)
La formule sera démontrée si Ton prouve que de (i) on
peut déduire
dvn
or, si l'on dérive l'expression (1) de^" par rapport au paramètre X qui figure sous le signe fy on a, en tenant compte de ce que l'une des limites est fonction de ce paramètre,
dYn
dx
= [(ar«- 5* )«/(-« )]c=;r-+- f 2nx{x^-z^)n-^/{z)dz; ViLLiÉ. — Compositions. 8
I ti rmMMSÈME PAITU. — CHAMTRE TU.
d*OII
dx a.i.6...ain — iKf . j\ . j^n x
74. Transformer V intégrale double ffdx dvj qui se rapporte aux aires planes, en substituant aux coordonnées rectangulaires x. y les paramètres des deux familles de coniques homofocales représentées par les équations
Application à l*aire du cercle de rayon r.
(École Normale, juillet 1873, i** question.)
L'expression à former est
si l'on dérive successivement par rapport à [jl et à v les deux équations
déduites des équations (1), on arrive à
c'est la formule demandée.
Dans le cas du cercle {* = r, 6=0. Les hyperboles se réduisent des groupes de droites passant à l'origine et, comme il faut faire v=o, on doit, à la place de l'axe transversc v, introduire le rapport des axes d'une même
hyperbole
d'où
^— ^tang»cu;
ii5
V = 6cos(i),
dtû\
faisant alors 6 = o, v = o, il vient
\}=±C Crdrdia= '^ r^w.
75. On propose de trouver une courbe telle que, si en un point M quelconque de l'une d'elles on mène la normale MN, prolongée jusqu'à l'axe Ox, la tangente MT
Fig. 5.
<it la perpendiculaire MR au rayon vecteur OM prolon^ f^ées jusqu'à Oy>, la quatrième proportionnelle à OT, ON et OR soit une ligne constante et donnée k.
(Lille, juillet 1872.)
Il6 PREXIÈRB PARTIE. — CBAPITBE TH.
On doit avoir {^fig^ 5)
