Un paraboloide elliptique a pour équation

trouver Vexpression du volume limité par un plan parallèle au plan des yz et le centre de gravité de ce

volume,

(Lille, novembre 1869.)

Soit x = a réquation de ce plan; une section parallèle au plan des yz est une ellipse ayant pour axes \Jipx

et \j7,qx : sa surface est donc B='n^pq2X. On a, par suite, pour le volume cherché.

V = / B dx = ira' ^pg-

Le centre de gravité est sur Taxe des Xy à une distance X de l'origine donnée par la formule

XV = / xB ûtr = I Tca» ^qpt

d'où

6. Calculer le volume situé au-dessus du plan des xy et compris entre les deux surfaces

z x^ y* ar* y*

on suppose m^ •< i . Que représenterait Vexpression

trouvée si m^^ i?

(Lille, juillet 1864).

Les sections du paraboloide et du cylindre par le plan des xy sont des ellipses semblables et la seconde est intérieure à la première si m^ •< i ; les surfaces se coupent audessus du plan des xy.

Le volume cherché V est donné par la formule

— Ja> m* — X* am /«a *

-^JH K-S-S)^-

am

^fdz: v/Sî^'— r« (a* - ^. - ?!^f* )

am

iraôc/w'CS — m*) izabcm^ , ./ m*\

= ;; ^ = 7iaoc/n*( i )•

Si m^ = I , on trouve V = | izabc ; c'est le volume de la portion du paraboloïde située au-dessus du plan des xj".

Si m^"^' I, les surfaces se coupent au-dessous du plan des xy, et l'expression générale de V représente la différence entre le volume du paraboloïde limité au plan des œy et le volume compris entre les deux surfaces.

7. Les axes d'une ellipse sont 2a et nb (a"^ b), cette ellipse sert de directrice à un cylindre droit; calculer la portion du volume de ce cylindre comprise dans une sphère ayant le centre de Vellipse pour centre et son demi' grand axe a pour rayon,

(Paris, juillet 1876, i" question.)

On a pour ce volume

V=8/ dx \ dy^a^ — x^—y^

r« r y . -iy=*v/*-j^

= 4 / dx\ (a> — 37») arc sin --=::.=^z=:. ^y^a^ — x^ — y^\

= I (abc -f- a' arc sin - j •