Déterminer une courbe telle que, menant par un

point quelconque la tangente MT et la normale MN,

les diagonales du quadrilatère formé par ces deux

droites et les deux axes Ox et Oy fassent un angle

donné 8.

(Besançon, juillet 1880.)

Le coedEicient angulaire de la droite TN est

dr ^'^^dy ^ pdp ^ jlp , dx — p* cita p dia '

d'où Téquation

tangu)

I — tanga> ^

^ = langO = k

dp __ (±: k — tangu)) rfa> p 1 zïL ^ tangbj

et, en intégrant,

p = C(cosoi ± A'sinco)

ou, en coordonnées rectangulaires,

équation qui représente deux familles de cercles passant à

l^origine et dont les centres sont sur les droites

^ =rh A: = :^ tango.

81 . Trouver une courbe telle que V angle MOT sous lequel on voit d'un point donné O la portion MT de tangente à cette courbe, comprise entre le point de contact M et une droite fixe DD', soit constant,

(Rennes, juillet i88o.)

Si l'on prend le point O pour origine et O^ parallèle à DD', les coordonnées du point T seront

X = a, \ == y -^ {a - x)^-£\ Téquation difTérentielle du lieu est donc

elle peut s'écrire

(a — x){xdy — y dx)

= ±:k[(a — x){xdx -^y dy) -^{x^-i^y*)dx]

^ xdy —y dx X dx -^y dy dx

qui s'intègre immédiatement et donne les courbes

o = li: j -f- logC -h logp — log(a — p cosa>)

Ca) p = .

cosw-hCe *

IQQ PREMldRI! PARTIE. — CHAPITRE VII.

Cette courbe a une infinité de branches asymptoliques aux directions données par la formule

(3) cosco -h Ce* = o,

et qui vont en se rapprochant de plus en plus de Taxe Oy\ elle comprend en outre deux spirales symétriques par rapport à Torigine, asymptotiques au pôle et à la direction donnée par la plus grande racine de l'équation (3).

Si Tangle donné est droit, on a les courbes du second degré rapportées à leur foyer et à leur axe focal

^ C-}-CO s (si

82. Tromper une courbe telle que le triangle ayant pour sommet un point quelconque M de la courbe, le centre de courbure correspondant et le pied de l'ordonnée du pointai ait une surface constante. On fera voir que l'une des coordonnées s'exprime en fonction de l'autre par une quadrature et que l'on peut se fain* une idée de la forme de la courbe y sans en avoir l'équation en termes finis,

(École Normale, juillet 1877.)

Soient k^ la surface donnée, a Tabscisse du centre de courbure du point M du lieu; on devra avoir

en négligeant le double signe qui répond à des courbes symétriques de celle-là par rapport à une parallèle quelconque à Oy. Or

(dyy \d~x) .

dx d>Y

QUKSTlOIfS DIVERSES. 123

d^où réquation différentielle, dans laquelle x manque,

posant ^ =/^> elle devient

y dy — aX* — ^ = o,

vI-uC

= tanga = tang'^^— ^, Z** dy

Ces courbes sont symétriques par rapport à Ox\ pour les construire, nous nous servirons des équations

, / — -, kdt j kdoL j^ = 2AVa — ao, dy — , dx = — ---•

V^a — ao tang ol^t. — Xq

Prenons, par exemple, la constante ao positive et inférieure à - : la variable a ne peut recevoir de valeur inférieure à ao ', pour a = ao, v = o, nous ferons également j: = o; la courbe présente à Torigine, qui est centre, un point d'inflexion. Quand a croît, y va constamment en

croissant {fig- 7); x commence par croître jusqu'à a = -»

pour décroître de - à ir et croître ensuite jusqu'à — : la

courbe présente donc au point a^it un rebroussement de première espèce. La branche de courbe que nous étudions a des rebroussements pour a = mz et des tangentes

parallèles à Oy pour a = (2/iH- i)-; chaque partie de la

courbe comprise entre deux tangentes parallèles à Ox va d'ailleurs en se rétrécissant dans les deux sens, car les

raESlËlE PARTIE. — CHAPITRE VII.

valeurs de dx qui correspondenl à la même valeur absolue de Ungz décroissent quand z croît.

Le rayon de courbure de la courbe est infini au point O

Kg. 7.

et en tous Jcs points de rebroussement; son eiLpression en fonction de z est en effet

SÎDXV^^ ^

p est minimum pour

tangx — a(3 — a«) =0;

il y a sur chaque partie de la courbe un seul point pour lequel p est minimum et ce point, P, est situé sur la portion de courbe pour laquelle dx est négatif.

QUESTIONS DIVERSES. ia5

83. Déterminer la courbe C telle que le triangle TMN, dont les côtés sont la tangente MT en un point quelconque, la normale MN au même point et la perpendiculaire NT élevée au pôle O sur le rayon vecteur OM, ait une aire constante donnée a^.

On indiquera la figure de chacune des branches de

la courbe.

(École Normale, juillet 1880.)

L^équation difierentielle du lieu est

puisque la sous-tangeute p^^— et la sous-normale -r- ont même signe ; on en déduit

les doubles signes étant indépendants.

L'intégration donne

(2) 2(a> — Wo)=q:; ^ :;= I -^ -harcsm— j,

Tordre des signes étant respecté. Ces courbes s'obtiennent par rotation d'un angle quelconque de la courbe obtenue en faisant (i>o = o. Pour construire cette dernière, prenons fa branche

(3) 2o>= harcsin^,

^ ps a»

qui répond au signe supérieur de l'équation (i). Faisant p = o, ou a Câ> = o, -3— étant positif, si l'on ne prend d'abord que les valeurs positives de p, (i> croît avec p et atteint son maximum (1)4 pour p = a,

ia6

angle un peu supérieur à 1 6°; en ce point, la branche présente un point d'arrêt et vient couper le rayon vecteur sous un angle de 43° {^fig* 8). Cet angle a d'ailleurs été

constamment en croissant avec p, depuis zér<i jusqu'à 43^7 car

langV

d'où

rflanj^V 2a"(a* — yja^ — p*)

Les valeurs négatives de p donnent une branche symétrique de la première par rapport à l'origine; enGn, si Ton prend des signes contraires pour aw, on obtient une courbe symétrique de la première relativement à Taxe polaire.

Construisons maintenant la branche

r 1- arc sin

pour p = o, ci> =:: oc , et, comme Téquation (4) se rapporte

au signe inférieur de (i), o) va en décroissant quand p

croit et atteint son minimum

COj

=Kî.^')'

pour p = a; en ce point, la courbe coupe le rayon vecteur sous un angle de 135*^.

Prenant les valeurs négatives de p et celles de w, on obtient trois autres spirales symétriques par rapport au pôle ou à Taxe polaire de celle que nous venons de construire; ces spirales se raccordent tangenticUemcnt aux branches précédemment obtenues, si on les fait tourner de 90**.

84. Etant donné le paraboloïde défini en coordonnées rectangulaires par V équation

on considère sur cette sur/ace les courbes dont les tani^entes font un angle constant donné y arec raxe Oz:

I** Troui^er l'équation différentielle des projections fie ces courbes sur le plan xOy et montrer que V intégration de cette équation se ramène à une quadrature;

2** Effectuer la quadrature et construire la projection dans le cas particulier où m est égal à l'unité.

(Paris, juillet 1879.)

On a les équations

djr dv dz , Jdx^ -\- dy^

cosa "" eus 3 - cosY ~~" v^cos»3(-r-cos2;i'

mT d.r -\- y dv ^ ^ d.r^ -4- dy^ ^ ' a COSY ^ sinY '

oa en llr^

Cette rqjilira cUn: îîa^iire en x el v s'înlègre en la

J"oû

le prvvl-me e>t rjmcEê À une qaadrature elliplique. Les evjujitî;:i> - et 4 •i-.t-frrïî: ne ni les courbes cherchées. Li quji.irit,ire ir^: >\:r-^:tufr dins les cas suivants : i* m = '^ z l-^ ijri:-:!::ie se réduit au cvlindre parabol\T*îe » ■= » r^: on A

I — I tX —

â I — I tX —

i' rt ^= i z \< farjilo':ii'e est de révolution.

Si l oa ùîtr'.^ivilt Fannie x que fait a\ec Ox la tangente

à U oc url e r r.' * j tce • oa ^

k X -= C î-a X zr a ovt ^ cj-* x — z sin z K » - — C .*•:> X :=: j: c--H^ 5;n x — xcosz ».

Ces Cv^urlrTS sWùoaaeat en partant sur la normale à la cv>urlv -- c» uue Iv n^utuir cv^nstante C; or celle dernuiv >e c.^:rix^>o de viojx dê\elop|^nles du cercle de

QUESTIONS DIVERSES. IQQ

rayoD acoty. Toutes ces courbes sont donc des développantes du même cercle ne différant que par leur origine. On arrive plus rapidement à ce résultat en remontant à réquation (i); elle devient, en coordonnées polaires,

p f/p =±a cot Y ds =dta coi^^dp* -h p* dui* , d'où

et enfin

apcotY

, \/p* — a* col* Y acotY

(o — (Oo = ± — ^- Hh arc cos >

acoty p

équation qui représente toutes les développantes du cercle de rayon acoty.

85. La tangente MT, menée d'un point quelconque M d'une sur/ace à une sphère donnée de rayon a, est dans

un rapport constant r- avec la moyenne proportionnelle

entre la distance OP du centre O de cette sphère au plan tangent à la surface au point M et la longueur MN de la normale à la surface en ce point, cette normale étant terminée par sa trace N sur un plan diamétral fixe de la sphère. On demande :

I® De trouver l'équation générale de la surface;

2® De trouver V équation de la surface : i° lorsque

le rayon a de la sphère est nul; a** lorsque le rapport ^

est égal à V unité,

(Marseille, juillet 1880.)

Prenant pour origine le centre O de la sphère et le plan diamétral fixe pour plan des xy^ on a

Mt' = ar'-4-7« -h «« - a', ViLLitf. — Compotiliona, 9

l3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YII.

d'où Téqualion aux dérivées partielles

(i) X«(x« H-7»4- 5«— a») = =b z(z —px — qy\

que Ton intègre en posant

dx ^ dy dz^ ,

la première donne

7= Ca?.

Soient

rp« =r M, ^« = i;, dz X* = A^ ;

la seconde peut s'écrire

du dç

d'où Téquation linéaire

dv i-hk ka- ,, ^,.

du U u

En l'intégrant, on arrive à

ce qui donne, pour l'équation générale des surfaces considérées,

On y arrive plus vite en mettant les équations (2) sous la forme immédiatement intégrable

, ... dx dy X dx-\-y dy -^ z dz

I® a=o. L'équation (3) devient

QUESTIONS DIVERSES. l3t

OU, en coordonnées sphériques,

p«= (p sinôcosu))*^*-*-*' çi(u)),

sin *6

Les sections de Tune quelconque de ces surfaces par des plans passant par O^ sont des courbes semblables; il en est de même des sections de toutes les surfaces par Fun de ces plans.

2** Y =:!. On a deux séries de surfaces, suivant que

l'on prend A' = ±:i; les premières ne présentent aucune particularité^ pour les secondes, la formule (3) est illusoire; mais Téquation en u et v devient

au u

i> = Ci-ha'loga — (i-h C*)m et Téquation des surfaces cherchées est

(5) x^-\-y*-h z^= a* loga7«-h(pf ^ j,

ce que les équations (2 bis) donnent de suite.

3° Si l'on fait à la fois k = — r et a = o, Téquation (5) devient

ce sont des surfaces engendrées par des cercles dont le centre est en O, et le plan passe par O5, leur rayon étant une fonction arbitraire de l'azimut (o; elles comprennent les sphères ayant Torigine pour centre.

86. On donne un cylindre parabolique dont Véqua^ lion en coordonnées rectangulaires est x^ — >3 = o ; trouver sur ce cylindre une courbe C, telle que T étant

l3a PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YII.

la trace sur le plan des xy de la tangente en un point

quelconque M, A e/ B étant les intersections du plan

osculateur avec Ox, Oy, le point T soit situé au milieu

de AB. On demande la projection de la courbe sur le

plan des xy,

(Besançon, juillet i883.)

Le plan osculateur d^une courbe a pour équation

(X — x){dy d^z — dz d*y)

-h {Y —y)(dzd^x — dxd^z) -^ (Z — z)(dxd*y ^ dyd^x)=zo;

si Ton prend x comme variable indépendante, on a, pour

le point A,

, ^dx d>y — ydxd^z

^^-"^-^ dyd^z-dzd^y '

d'ailleurs, pour le point T,

la condition X| == 2X3 de l'énoncé donne donc l'équation

dx zdxd^y — ydxd^z (I) a;-^i^z^-^ dyd^z-dzd^y '

De l'équation de la surface on déduit

dx 2xdx = dz, X — 25 -=-=0, d^z — ^dx^j

et, par suile^ l'équation (i) devient

(a) o = zd.d^y-yd.d^z = d^(.*^^-.y\

dont l'intégrale

est l'équation de la projection des courbes cherchées sur le plan des xy] ces courbes sont asymptotiques à la génératrice O^ du cylindre, sauf celles pour lesquelles C| = o.

V dx

QUESTIONS DIYEHSBS. l33

87. On donne une surface du second degré et une tangente MT en un point M de cette surface. On mène un plan passant par MT. On construit dans ce plan le centre O du cercle osculateur de la section en M, puis le centre O' du cercle osculateur de la développée de la section enO.

Lieu des points O' lorsque le plan tourne autour de MT.

(Glermonti juillet i883.)

Soient M Forigine des coordonnées et MT Taxe des x\ nous prendrons pour axe des z la normale à la surface en M. Considérons un plan sécant passant par MT

^ = ^tanga;

d'après le théorème de Meunier,- le rayon de courbure de la section est

le lieu des points O est donc le cercle

décrit sur le rayon de courbure po de la section normale comme diamètre, et le lieu des points O' est, quelle que soit la surface donnée, sur le cylindre circulaire représenté par cette équation ; la coordonnée x du point O' est d*ailleurs égale au rayon de courbure r de la développée.

Or on a, e étant l'angle de contingence de la section plane de rayon de courbure p,

dp pdp^

il reste donc à chercher la valeur de ~ pour Torigine des coordonnées.

l34 PUaiÈEB PARTIE. — CHAPITRE TU.

De Inéquation

dans laquelle la coordonnée Y est comptée sur la normale à la section plane, on tire

^? = T^Yy ^'

\dx^) — j = o, on en conclut

da^

Appliquons à la surface proposée, dont Téquation est de la forme

d'où, pour Téquation de la section plane,

Ax' -h (A'sin*a 4- 2B sinscosa -+- A'cos'a)Y«

2(B'cosa-h B'sîiia)xY -h aCY cosa = o;

en dérivant trois fois cette dernière, on arrive à

\dx/^'~ ' \dx^/u~ Ccosa'

( — \ - 3A(B^cosgH-B'sing) \cLc'/ii~ C'cos'x

ce qui conduit (inalement à Téqualion

, B'cosa-+-B"sina 3(B';;«-+- B'r-)

X = ipQ cos a 1 = --^ 1 =- — ^

QUESTIONS DIVERSES. l35

La courbe lieu des points O' est donc l'ellipse intersection du plan

et du cylindre circulaire

A{y^-hz^)-h Cz = o,

dont les équations sont indépendantes des coefficients Â\ A' et B de la surface.

88. Arête de rebroussement de la surface enveloppe d^une sphère qui se meut en conservant un contact du second ordre avec une courbe donnée.

(Grenoble, juillet i883.)

Le lieu des centres de cette sphère est sur la surface polaire P de la courbe proposée. De plus, si Ton développe cette surface, ce lieu aura pour transformée un cercle décrit avec le rayon R de la sphère et ayant pour centre le point de rencontre de toutes les droites transformées des développées de la courbe proposée; la courbe C|, lieu des centres de la sphère, est donc ainsi déterminée.

L^enveloppe de la sphère est une surface canal dont les caractéristiques sont des cercles de rayon R situés dans des plans normaux à la courbe C4 et dont les centres sont sur cette courbe. L'arête de rebroussement de cette enveloppe, qui est le lieu des intersections de ses caractéristiques, est donc sur la surface polaire P| de la courbe C| ; de plus, si l'on développe P|, la transformée du lieu cherché est une circonférence de rayon R et ayant pour centre le point de rencontre des développées de C|, ce qui définit complètement cette courbe.

89. Former Véquation aux dérivées partielles des surfaces jouissant de la propriété que les tangentes aux deux lignes de courbure, en un quelconque de leurs

l36 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TU.

points, se projettent sur le plan des xy suivant deux

droites dont les bissectrices soient parallèles àOxet Oy,

Déterminer celles de ces surfaces dont V équation est

de la forme

et intégrer l'équation différentielle de leurs lignes de courbure.

On suppose les axes rectangulaires.

(Paris, juillet 1884, 2* question.)

L^équation difTérentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy est

. dx-hp(pdx-^qdy) dy -{- q{p dx-^- g dy) ^

rdx-Jfsdy sdx-\-tdy '

exprimant qu^elle a ses racines en -^ égales et de signes

contraires, on a Féquation aux dérivées partielles du second ordre

Les équations des ombilics