Étude de la fonction u = r
P^ y et p étant des nombres entiers.
Les points critiques de la fonction sont z:= a^ z = b^ 5 = c. Le point a est un pôle, car, pour c = a, i/ = ao et son inverse reste Cnie et continue; il n'y a pas permutation de valeurs de la fonction quand la variable tourne autour de a. Il n'en est pas de même pour les branchements 6 et c (Jig' 9). Supposons que z décrive un cercle
'Ot
infiniment petit autour de 6 et soit Ukl^ valeur de «quand s part d*un point B de cercle, cherchons quelle sera sa valeur quand z reviendra en B après avoir tourné une fois
YARIABLES IMAGINAIliES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. iSg
dans le sens direct autour de b. Les racines ^»^™«» de l'unité sont
, , Sl*7t
2 Alt . . 2 Air —r-
cos h i sin z=z e r
k étant successivement égal à o, i , 2, • • • , /^ — i ; on aura donc, pour Texpression de l'une quelconque des valeurs
de w, quaud z sera en B, i/A== Uoe ^ . Cela étant, posons
quand on tourne autour de 6, les facteurs et
„ . ne chansrent pas : nous n'aurons donc à nous oc-
cuper que du facteur
qui, après un tour complet autour de b, deviendra
c'est-à-dire que um est devenu w^+p; les diverses valeurs de u se permutent circulairement.
On ferait sur le point z = c une discussion entièrement analogue.
Supposons que Ton parte d'un* point quelconque M du plan et que Ton parcoure un contour fermé à l'intérieur duquel se trouvent les deux points b et c; la fonction reprend en M la môme valeur que si l'on parcourt les deux contours élémentaires issus de M et entourant a et fr, puisqu'il n'y a aucun branchement entre l'ensemble de ces contours élémentaires et le cycle considéré; après un parcours complet de ce cycle, la détermination i/a ^st donc devenue Uk^^y.
l4o PmKMifeRB PAmnB. — CHAPITIE TIII.
91 • Résidus de quelques fonctions.
I® u= ; ^,1 pour le pôle z = a. Posant
I — cos(^ — a) * *
^ = a -f- A, la fonction devient
aaH-aA-4-i aa + n-aA a , , ,
T— = -Ti rr = -rT(aa-+-H-2A-H...);
I — cosA A* A* A*^ '
le résidu cherché est donc égal à 4; il est d'ailleurs le même pour tous les pôles ^ = a + 2A"ic de la fonction.
a® a = -r-j- • Cette fonction a pour pôles les points
5 = Attc; or on a
sin'(A:in- A) sin*A
La parenthèse ne renfermant que des puissances impaires de A, son carré n*a que des puissances paires, ce qui démontre que les résidus sont nuls.
L'intégrale / -r-^- est donc indépendante du chemin
parcouru entre les deux points z^^lz^*
3® a = T ■ TT ïT- Soit ^ = a un pôle de la
[a-i-(az -h o)tang^J* ^
fonction a, c'est-à-dire une racine de Téquation
f(^z) •= a->r(az H-6)tangz = o;
on a
d'où
= -Lr L.A>>i+ 1
TARIABLBS UUGIIIAIRBS. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l4l
Pour calculer le résidu — •^,,V \ i formons
/\z) = {az H- 6) (i -h lang'-s) -+■ a tangz, f\z) = 2[a -+- (az 4- 6) tangi] (i -+- tang»^),
d'où/'^(a) = o; les résidus sont nuls. L'intégrale
/•'* dz
est donc uniforme. On aurait d'ailleurs pu le voir autrement, en remarquant que
fu dz =^ z ^ •
a a -1- ( a^ -h 6 ) tang -S
