Déterminer l'intégrale définie

cotY(a7 — a — h / — i ) dx,

(École Normale, juillet 1872.) Posant

, / a -+- hJ— I

a^ = j7 — a — b y — I , -5o = y Zi = ir h- ^or

rintégrale considérée I devient

1 = 2/ cot^ dz = 2(log sin^i — log sin^o)*

Étudions la fonction

u = logsio^;

si 1*00 fait

sin^ = p(cos(o+ l'sinb)),

on aura, pour l'une quelconque des branches de la fonction 1/,

or, en suivant la parallèle à Ox qui va de .Sq à ^o comme

l42 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VUI.

le comporte Ténoncé de la question, on ne passe par aucun point pour lequel la fonction u cesse d^étre continue : donc

Mi — Mo = logpi — logpo-t- t(wi — wo);

d'ailleurs, en allant de Zq à Z\ suivant le chemin rectiligne considéré, on a pi = po et coi = (o^ + t:, puisque les deux points sin^o ^^ s\nz^ sont symétriques par rapport à l'origine. On en conclut, pour la valeur de l'intégrale cherchée,

1=2 lit.

93. Expliquer comment il faut mener les différentes lignes que doit suivre la variable z pour que Vintég raie

■^» dz

7C SIQ^

obtienne ses différentes valeurs.

(Nancy, juillet i883.)

La (onction monodrome à intégrer a une infinité de pôles donnés par la formule sin 5 = 0, 5 = /ît:, et les résidus correspondants sont ( — 1)".

L'intégrale générale est logtang-; posons Z=tang-

et imaginons que z décrive au-dessus de Ox, par exemple, une courbe ne coupant pas cet axe et dont les extrémités

seront Zq = — -> Zi = -\ — ;le point Z décrira une courbe

correspondante dont les extrémités seront Zq= — 1, Z| = -i-i et qui ne coupera pas Ox, tang^ n'étant réel que pour z réel ; posant donc

Z = p[cos(ç -+■ aArw) -{- tsin(îpH- aA:7r)],

TàRIABLBS DIA6INAI1UBS. — PONCTIONS ELLIPTIQUES. l43

Or prenons une quelconque des branches de logZ,

u = logp -H i(? -*" îi^O^), on aura

l'intégrale cherchée a donc pour valeur u^ — Uq= — iiz.

Cela étant établi , si l'on considère une ligne quelconque d'intégration ayant les mêmes extrémités que la précédente, on pourra la fermer à Taide de la partie deO:r comprise entre H- - et , à l'exception de la portion avoi-

sinant le pôle O, à laquelle on substituera un demi-cercle décrit de O comme centre, au-dessus de Ox, et avec un rayon infiniment petit; l'intégrale prise le long de cette dernière ligne étant iiz, le théorème du résidu intégral donnera la valeur de l'intégrale cherchée. On reconnaît ainsi qu'elle rentre dans la formule générale (2/n + i)iTz.