Déterminer les intégrales définies

f smx^ dx^ j cosx^dx.

Considérons un contour fermé comprenant Taxe des X (A) depuis l'origine jusqu'à la distance R, un arc de

cercle (B) de rayon R avec un angle au centre égal à j»

enfin le rayon (C) partant de la seconde extrémité de l'arc B; si l'on intègre la fonction e""^', qui est continue et monodrome dans toute l'étendue du plan, on aura, quel que soit R,

nous calculerons ces diverses intégrales en faisant R = oo .

i44 pimfcu PÀETiE. — chàpitbb Tin.

On a d'abord

Pour obtenir / , il faut poser z = Re^,

soit f un angle tel que e"**~*'?=: ^; nous décomposerons

Jf en deux autres / + / » dont nous chercherons les modules. On a

R le module d'un élément d'intégrale est donc — - — -srf6,

quantité inférieure à -^ pour tous les éléments de la première intégrale ; or -^ est un infiniment petit du second

est un infiniment petit du

premier ordre, c'est-à-dire que cette intégrale est nulle pour R = oc . La valeur maximum du module des éléments de la seconde intégrale est ReA : donc

mod/" '^y *R «rt 5 R Q - <?) ;

or l'angle f est donné par l'équalion

• /it \ logR»

et, comme l'angle 2 y est très voisin de zéro, on peut

Variables iMAGiifAiREs. — fonctions elliptiques. i45

écrire

ir alogR

d'où

quantité qui tend vers zéro quand R croit indéfiniment. Donc, en résumé, / = o.

Pour obtenir la troisième partie, il faut poser

alors

or

donc

cos- -H isin-T j; / e-**dz = / c-'*' (cos j -h i sin j j dlr;

— = / (cosa:* — tsinar') — 7=7-^;

d*oii Ton déduit, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires^

/ cosx*ûtr-H / sina7'^ = l/->

Jf cosa:* dx — / sinar* dx = *^

et enfin