Calculer Vintégrale

ViLut. — Compositions, 10

f sinx^dxss I cosx*dx=^ — -

l46 PUBÈU PAITIE. — CBâPITU TOI.

La fonction étant supposée irréductible, on voit

tout d^abord qu^il est nécessaire, pour que Tintégrale soit finie et déterminée :

1® Que f (x) n^ait aucune racine réelle;

2^ Que son degré surpasse de deux unités au moins celai de/(x).

Supposons, en eflet, que f(x) = o admette la racine réelle x = a, avec le degré k de multiplicité, on aurait

Soient a et x' deux valeurs de x comprenant entre elles le point a et assez voisines Fune de Tautr^ pour que j- — ■

ne diffère pas sensiblement de y — -; considérons la portion de Tintégrale comprise entre x et a' y on aura, par définition,

f = lim / -h lim / ,

lorsque e et e' tendent vers zéro; cette intégrale est infinie ou indéterminée, car les deux termes qui la composent tendent tous deux vers cx>, indépendamment Tun de Tautre. En effet, considérons, par exemple, le terme

fir^dx

{x — af ^{x)*

le facteur . — — — -j. ne changeant pas de signe dans le cours de rintégration, Tintégrale sera égale à

r^-' dx

M étant une quantité intermédiaire entre les valeurs ex-

TàRIABLES imaginaires. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. 1^7

trêmes du facteur A-4 et, par suite, sensiblement égale à la constante rr-» D'ailleurs on a

r^~' dx i [ I I 1 . .

= loff j si A: = i;

dans Tun et Tautre cas, l'intégrale tendra vers oo pour

f(x^ En second lieu, la fonction ^^^ — peut être mise sous la

forme

A F(x) tendant vers la constante p» lorsque j: tend versoo ;

soit \ une valeur finie, mais suflQsamment grande de x

pour que ^{x) diffère peu de p; on aura

Jr* dv r^dxF(T) — ; — F(ar) = lim / ; , pour r, — oo

dx „, , ,, r^dxF(x)

mais cette intégrale est égale à

^ dx

jj/n —m

M étant une quantité intermédiaire entre les valeurs ex-

A irémes de F(x) et, par suite, différant peu de p- On a,

d'autre part,

C'^ dr I / I I \ . , ^

= log ^ , si m' — m = I ;

l48 PREXlfeRE PàRTIB. — CBÀPITRB YIII.

cette intégrale tendra donc vers oo , en même temps queT,,

si m! — m ^ I .

Les deux conditions ci-dessus étant supposées satis-

faites, considérons la fonction '^^^ et intéerrons-la sur un

contour formé d'un demi-cercle C de rayon R tendant vers l'infini et du diamètre MIN mené suivant l'axe des x\ on

aura

Jf -H / =2114(1X14- fXj-h...)»

c *^MN

u,, (JLa, ... étant les résidus de ^t-zt relatifs aux pôles contenus dans le contour. Mais l'intégrale prise suivant le cercle tend vers zéro quand R tend vers oo , puisque

fiz) VixsLZ "^-T^: = o, pour ^ = 00 ;

d'ailleurs

d'où l'on conclut que l'intégrale cherchée est égale au produit de 2Tzi par la somme des résidus relatifs aux pôles

de ^-T^ situés au-dessus de l'axe des x.

Appliquons à la fonction — r-^; elle a pour pôles

z = i^ z = — i\ le premier seul est au-dessus de l'axe des X. Pour calculer le résidu corrcspondant| on posera

z =^ i-\- hy d'où

le résidu sera — 2(21)"' et l'intégrale

I z rrr =— ait 1.2(2 0"' = -"

TàRIàBLES imaginaires. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. 1^9