I-'ig

sidérons la région limitée : i® par un cercle A de rayon infini B ayant pour centre Torigine ; a° par un petit cercle B entourant le point a; 3® par un contour G formé de la

VARIABLES DIAGIIf AIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l5l

réunion des deux conlours élémentaires des points + i et — I ( fig, lo). Dans la région comprise entre ces trois contours, fi^z) est finie et continue; elle est d'ailleurs monodrome. Supposons en eiTet quez, partant d*un point ^q situé dans cette région, y revienne après avoir parcouru un certain contour; pour rester dans la région, ce contour n'aura enveloppé aucun des branchements ou les aura contournés tous les deux ; le radical y/i — z^ n'aura donc pas changé de signe. On aura, en conséquence, l'équation

Jf -h / -t- / = o.

Mais / =0, puisque lim>5/(5) = o, pour 5 = 00; en second lieu, la formule connue

dz = 2Tr*«p(a) j^^ — ^

donnera

Calculons enfin l'intégrale / ; elle se compose :

•/c I® De l'intégrale

r^^ dx

suivant l'axe des x ;

a® De l'intégrale prise au retour suivant le même axe et qui est égale à la précédente, car, d'une part, elle est prise en sens opposé et, d'autre part, le radical a changé de signe, puisqu'on a tourné autour d'un branchement ;

3^ Des intégrales prises suivant les petits cercles + i et — I et qui sont nulles^ puisque

lim(-5 :ï:i)/(^) = 0, pour z = dii.

l52 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TIII.

On a donc finalement Inéquation

/ dx 2TCt

qui fournit l'intégrale cherchée.

Toutefois il reste à lever l'ambiguïté résultant des doubles signes des radicaux. A cet effet, fixons arbitrairemenl celle des deux valeurs du radical que nous prendrons en un point déterminé ; admettons, par exemple, qu'au moment où z passe pour la première fois à l'origine en suivant le bord inférieur du contour C, le radical prenne la valeur + 1 : pour avoir celle des deux valeurs du radical ^ I — d^ qui convient à cette détermination, nous tracerons une ligne L qui, partant de l'origine au-dessous de l'axe des a:, aboutisse en a sans traverser le contour C, el nous calculerons de proche en proche les valeurs du radi • cal sur cette ligne avec assez d'approximation pour pouvoir décider quelle est celle des deux valeurs de y^i — a* qui doit être adoptée.

On remarquera que, si a est réel, cette discussion est inutile, car l'intégrale

^' dx

sera réelle et aura un signe parfaitement déterminé d'avance, suivant le signe adopté pour y/i — x^ et suivant que a sera supérieur à -h i ou inférieur à — i; a ne peut d'ailleurs être compris entre — i et -+- 1 , car l'intégrale serait indéterminée.