On demande de calculer l'intégrale curviligne

dz

prise le long du contour OABCDAO (Jig- 1 1), formé de

l'axe des x depuis Vorigine jusqu'en A, du cercle

ABCDA et de la droite AO, les différentes parties du

contour étant parcourues successivement dans V ordre

indiqué par les lettres qui les désignent. On suppose

que OA =.% et que la valeur initiale du radical est

prise égale à i .

(Paris, novembre i883, i*^ question.

La fonction à intégrer présente deux branchements

— i-hi/3 —1 — 1/3 ^0= ^ , ^1= jj j

tous les deux situés à la distance i de Torigine et, par

l54 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE Tlli.

conséquent, intérieurs au cercle considéré; il en résulte qu'elle reprend la même valeur quand, partant de A, on y revient après avoir parcouru le cercle ABCDA; donc les intégrales suivant OA et AO se détruisent et il reste Tin-

tégrale prise suivant le cercle de rayon 2 ou suivant un cercle de rayon plus grand, puisque, entre ces deux cercles, la fonction ne présente aucun point critique et qu'il y a un nombre pair de points critiques à l'intérieur du plus petit. Faisons donc z = Re'^ et considérons l'intégrale

V/R«e»'^-+-Rc'ÔH-i

si nous faisons tendre le rayon R vers l'infini, elle devient

c'est Ja valeur de l'intégrale proposée.