On considère les intéf^rales
r^ et f-.
dz
dans lesquelles S et S| désignent deux contours formés de la manière suivante :
Le contour S se compose de la droite OA {que Von Jait grandir indéfiniment), du cercle de centre O et de rayon OA, enfin de la droite AO {fig^ 12). Le con-
Fiff. la.
tour S| est la limite des trois lacets qui enveloppent les points a, 6, c, dont les qffixes sont les racines de l'équation 5' 4- I = o.
établir la relation entre les deux intégrales
dx
et
r^ dr
1 sT^
à laquelle on est conduit par cette comparaison,
(École Normale, juillet i883, a* question.)
PRBXIbie PARTIE. — CHAPITRE V
La fonclion f(z) = -r — présente trois branchements
et il n'y a aucun point critique eotre les deux contours S et S,; d'ailleurs ces deux contours ont leur point de départ commun; il en résulte que les intégrales / et / sont
égales, bien que ces contours renferment un nombre impair de branchements, si l'on prend la môme valeur initiale pour/{s), + 1 par exemple.
L'intégrale prise suivant le cercle de rayon infini est nulle, puisque
car la seconde intégrale est prise en sens oppose de la première et le radical a changé de signe, puisqu'on a tourné une fois autour d'un nombre impair de branchements; on a donc
Pour calculer / , nous remarquerons d'abord que les
intégrales prises suivant chacun des petits cercles tendent \ers ïéro en même temps que leur rayon, car on a, par exemple,
pour »=a
▼AMIABLES IMAGCIAIIES. — P05CTI0:«S SLUPTIQUES. i5y
il en résalte qae Ton a
J^y^^ " '^ Vo ~-'o ^Jo ) ' On obtient la première intégrale en posant
il*OÙ
on a de même
eniia <l*où
On en déduit, pour la relation cherchée,
lOi. Intégrer suivant le cercle C^ décrit de C origine 4:oinme centre, et à partir du point z^^ l'expression
0(5) étant une fonction monodrome et holomorphe,
(Ecole Normale, juillet iSSi'.;
On a identiquement
/log^ 0'\Z) dz = log-5 0{zj — I — ^ dz ;
l58 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TIII.
la fonction ^ n'a qu'un pôle, Torigine, à Tintérieurdu
cercle, et, comme elle est monodrome, le théorème du résidu intégral lui est applicable et donne
^ dz = ^t:iG{o);
on a donc
flogz G\z) dz = 27:i[G(^o)— G(o)].
102. Trouver les périodes de la Jonction u définie par Vintégrale
z= f y\u — a)(u — b)du.
^ lU
Soient A et B les intégrales prises le long des contours élémentaires des points a et b, relatifs au point Uq ; quelle que soit celle des trois valeurs initiales que l'on choisisse pour le radical, celui-ci reprendra la même valeur si Ton parcourt trois contours élémentaires. Les périodes de la fonction u s'obtiendront donc en formant toutes les combinaisons multiples des contours élémentaires pris trois à trois. Or un seul contour a décrit trois fois donne les intégrales
A, A« ' — Aa, Ac • =Aa*,
dont la somme est nulle et ne fournit, par suite, aucune période. U reste donc les six combinaisons
