A»B, ABA, AB«, B«A, BAB, BA
l'intégrale suivant A^B est
celle suivant ABA est — a( A — B) ; enfin AB^ donne A— B.
YÂRIÀBLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l5g
Les trois autres intégrales, se déduisant des premières par permutation des lettres A et B, sont respectivement égales et de signes contraires.
Enfin, comme Ton a
A«B-+-ABA — AB«=o,
la fonction u n'a donc que deux périodes distinctes A — B et a(A — B). Il est clair d*ailleurs que, si Ton partait de l'une des deux autres déterminations du radical, A et fi seraient simultanément multipliés, soit par a, soit par a^, et que ron retomberait sur les mêm?s périodes.
Remarquons, en terminant, que Tintégrale A, par exemple, est égale au produit par i — a de l'intégrale rectilîgne prise de Uq à a.
103. Exprimer, à l'aide des fonctions elliptiques, la fonction z qui satisfait à l'équation différentielle
les constantes étant réelles.
Cette équation est celle qui lie au temps t l'ordonnée verticale z du pendule conique.
Soit a<ib<,c\ posons
d'où
dz = i{b — a)udut
posons encore ~ = k^ ; k sera réel et plus petit que i , et il viendra
l6o PlOlftEB PAKTB. — CHAPITM TIII.
OU, si l'on représente par n la constante — — ^= — cl si
Ton choisit convenablement l'origine du temps,
u = snnt; d'où enfîn
5 = a-+-(6 — a) sn»n/ = acu^nt-\- bsn^nt.
loi. Développement de la /onction elliptique snu en série double.
/fin f t\ //■" — ^ ' ** } U étant une constante, suivant un z — u
rectangle ayant l'origine pour centre et dont les côtés, parallèles aux axes, ne passent ni par les zéros, ni par les infinis de sn(5); nous ferons d'ailleurs les dimensions de ce rectangle infiniment grandes. L'intégrale considérée peut s'écrire
or on a
-^dz = o;
en effet, la fonction sn{z) est impaire : donc la fonction
est paire et, en des points symétriques de l'origine,
les éléments de l'intégrale sont égaux et de signes contraires.
Pour calculer la seconde intégrale, nous poserons
z = re^ ;
on aura
-^ii^^)dz=Juii-^^)snz(^-^^^^-^-^j; or, soit [x le maximum du module de w(i + e) sn^ et p le
VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l6l
minimum de r, le module de la seconde partie de Tintégrale est inférieur à
et, comme p est infiniment grand, cette portion d'intégrale est nulle. Quant à la première partie, nous la décomposerons en huit autres, telles que dans chacune d'elles le rayon vecteur aille toujours en croissant ou toujours en décroissant; Tune quelconque de ces parties est nulle, car son module est inférieur à
En résumé, Ton a
rsn z dz =o;
snz
donc la somme des résidus de la fonction à Tintérieur
du rectangle d'intégration est nulle. Or cette /onction est infinie d'abord pour ^ = m, et le résidu correspondant est la fonction cherchée sni/. Voyons maintenant les résidus qui répondent aux valeurs infinies de sn^; on a
or
sn[2mK H- (2/1 -+- i)«K'-H h\
= (-i)"»sn(*K'-4-A)= — ,^-^ '
k snn
le résidu de sn^ est donc — j — ; par suite, le résidu relatif à l'un des infinis de la fonction ~ — — sera égal à
(— rV"
A-[2/7lK-+-(2/l-^ \)l¥J — u\
ViLLic. — Compositions. 11
102 PREVifelE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
Faisant la somme de tous ces résidus, on a
-KM -^x
formule qui donne sn« par une série à double entrée, dans laquelle on doit faire tendre les entiers M et N vers rinfini.
La même méthode ne s'appliquerait pas aux fonctions paires cnu et Anu, les intégrales
/^cnz j /'An;: , / -.-«-» / —-dz
n^étant plus nulles.
lOo. Développement des fonctions circulaires et des fonctions elliptiques en un produit d'un nombre infini de facteurs.
Soit f{z) une fonction monodrome n'ayant d'autres
points critiques que des pôles et u une constante; si nous
f'(z^ considérons la fonction - — '-^- : elle admet un premier
résidu ——■ pour z = u. Les autres résidus sont de deux sortes, ceux qui proviennent des zéros àe f{z) sont égaux à ~j- > a étant un zéro et/> son degré de multiplicité, et ceux qui répondent aux pôles de la même fonction ont pour valeur i-^- y b étant un infini et q son degré de multiplicité; nous représenterons généralement par r le résidu de la fonction 4^\ » pour la valeur 2 = a, qui rend cette fonction infinie. On aura
VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l63
rintégration étant faite suivant un contour fermé conxprenant le point u et ne passant par aucun pôle de la fonction intégrée. Intégrons l'équation (i) par rapport à w, suivant une ligne quelconque allant de Torigine au point u^ mais évitant les pôles de la fonction, il viendra
TT indiquant le produit de tous les facteurs (— --)
fournis par les pôles tels que a, compris dans le contour. Posons, pour abréger,
on aura la formule générale
La valeur de I se réduit à l'unité si/(-3) est une fonction paire ou impaire et si le contour d'intégration est un rectangle de dimensions infiniment grandes, ayant l'origine
pour centre et ses côtés parallèles aux axes; en eflet, le
f'iz) module de --.-^ reste fini et cette fonction est impaire: or
OD a
— lOK = - -+- --r(l -T-S).
(^Dsidérons donc l'intégrale
l64 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
la première partie
f'iz\ est nulle, car, la fonction --i.r-4 étant paire, les éléments de
l'intégrale se détruisent, à cause de la symétrie du contour par rapporta Torigine; on démontrerait d'ailleurs, comme dans l'exercice précédent, que la seconde partie est nulle : donc I = I et l'on a
Fonctions circulaires. — L'exponentielle étant une fonction holomorphe, il en est de même de sin^ et de cos^; les zéros de ces fonctions, qui sont simples, four-
nissent donc seuls des pôles de -jr-^ • Les zéros de
