Soient Ox, Oy et Oz trois axes rectangulaires et
QUADRATURBS. 9
un parabololde défini par Véqualion
calculer V expression du volume limité par le plan x Oy, la surface du parabololde et la surface du cylindre dont V équation est
(Paris, juillet 1882, i'* question.)
On
t^rjitz^ï
9. Soient Ox, O^', Oz trois axes rectangulaires. Une surface réglée est engendrée de la manière suivante : le plan ^OA tourne autour de Oz, la génératrice D comprise dans ce plan fait avec Oz un angle constant dont la tangente est \\ elle intercepte sur Oz un segment OC représenté par XaO, a désignant une ligne donnée et 6 l'angle des plans zOx^ zOA.
i^ Calculer l'expression du volume limité par la surface réglée et les plans xOy, zOx, 5OA, l'angle H des deux derniers étant moindre que 27:.
2® Calculer l'expression de la portion de surface limitée par ces mêmes plans. .
(École Normale, juillet 1882, i"^ question.)
lO PRBMIÈBE PARTIE. — CHAPITRE I.
1^ Uéquation de la surface en coordonnées cylindriques est
^ = Xcr6 — ^; l'élément de volume
2" L'élément de surface é/o* est donné par la formule
do = pdpdb^i-hp*-^ q^;
or
> ^ lA dp ^ X dy — y dx xdx-^-ydy
X p* Xp
d'où
X*a^-f-pa? X*aa? — p^
et par suite
dfs = ]rd^dp v/X^aîH-(i-h X«Jp«,
^p=X«aO ^6
(T=M rfpv/X*a«-h(n-X«)p« / rfO,
ft ^p=X««6 •
= j / rfpv/X*aî-i-(i-i-X»)p»
^p=X«/iO ^
. ' / prfp/X*a»-+-(i-f-X*)p*.
QCADBATUBES. I I
Or on a
/ dp v^X*a«-i-(i-+-X«)p* •■
r p€/p/X*aî-r-(iH-X«)p«=— --,-J[X*a«-+-(i-hXi)pi]«--X«a»!.
Oa en déduit pour Taire cherchée X»a«
|rA-i-^(^'-7:^)v^'-^"('^^">
-^- - - ing[ey/i -+- x«-T- /i-i- e*(i -f-x«)] .
Vi-i-X* )
10. En un point quelconque M d^une chatnelle dont C équation en coordonnées rectangulaires est
on mène la tangente MT que Von prolonge jusqu^ à sa
rencontre en T avec l'axe des x^ puis on fait tourner
la figure autour de cet axe. On demande d'exprimer
la différence des aires décrites par l'arc AM , A étant
le sommet de la courbe, et par la tangente MT \ i^ en
fonction de V abscisse du point M ; a° en fonction de
l'abscisse du point T.
(Paris, juillet i88o, i** question.)
Soient A la première aire, A| la seconde, A = 27t / yds= — / y^dx = — / \c"-i-e "-f- ydx,
D'autre part,
MT
='-[-(in-f*P^.]-
MT = ? i^'^y
. ira» (<?"-+- e ^)
A — Ai = 7:a| x — a —.
Pour exprimer A — V, en fonction de Tabscisse /, de T, écrivons l'équation de la tangente MT
d'où
on en déduit
e^'-^e "" x — ty^
et enfin
A — Aj = îiafg.
H. On considère, sur la surface d\in parabololde elliptique, les courbes définies par la condition que les normales à la surface menées par les différents points de l'une d'elles fassent un angle constant avec l'axe.
Trousser V équation des projections de ces courbes sur un plan perpendiculaire à Vaxe du parabololde.
Calculer Caire de la calotte du parabololde limitée par une de ces courbes.
(Paris, novembre 1874, i'* question.)
Soient
l'équation du paraboloïde et 6 l'angle constant pour une même courbe, que font les normales à la surface avec l'axe des >?; on a
I=: COSOi/ l-h( -T- ) -4- ( -1- ) = cosui/ I-+- — -I- v^;
d'où, pour l'équation de la projection des courbes cherchées, sur le plan tangent au sommet du paraboloïde,
(2) . H- .= tangue.
Pour trouver l'aire de la calotte du paraboloïde limitée par une de ces courbes = 60, nous prendrons pour aire élémentaire dv celle qui se projette suivant la couronna comprise entre deux ellipses infiniment voisines.
L'aire de l'ellipse (2) étant Tzab tang^O, celle de la couronne est
et, comme
(i\ = iTzab langO — .. ,
dk .slnefl^O
cosO cos*0
on en déduit
(3) (y.= 27ta6/ — tû-=ô^**^( — ^ M-
^ J cos*6 3 \cos*Oo /
l4 PREHIÈRB PARTIE. — CHAPITRE I.
12. Déterminer V équation finie d\ine courbe gauche diaprés les conditions suivantes :
i^ La courbe est située sur la surface du cône
2° Toutes les tangentes à cette courbe rencontrent le cercle
Rectification de la courbe. Calcul de la surjace du cône comprise entre l'arc de la courbe et deux génératrices fixes.
(Montpellier, novembre 1880.)
En exprimant que la tangente qui a pour équation
t — ^ M — y __ p — s dx dy ~ dz
coupe le cercle donné, on a la condition
OU, transformant en coordonnées cylindriques, en tenant compte de l'équation du cône p = kz^
d'où
dl
dbi = ^a^— h^k^
hk
Pour que le problème soit possible, il faut que hk^a^ c'est-à-dire que le cercle donné soit extérieur au cône ou sur le cône; dans ce dernier cas, (o = consl. , la courbe
QIIADIUTUIŒ6. l5
cherchée est une génératrice quelconque du cône. Soit
donc
AX:<a;
on a, pour Téquation de la projection de la courbe sur le plan des xyy
± (a. + c) = ^'ji^, - . log .t (^ - .) .
Toutes ces courbes sont superposables par rotation de Tune
d'elles
hk
(Il
autour de Oz. Ce lieu se compose de trois spirales : 1® une spirale située sur la nappe inférieure du cône, asyinplotique au sommet et à la génératrice qui a pour projection la partie négative de l'axe des x] 2® deux spirales sur la nappe supérieure, toutes deux asymptotiques au cercle p = hk^ z = h, suivant lequel le plan donné coupe le cône, la première située au-dessous de ce plan et asymptotique au sommet, la seconde placée au-dessus du même plan et asymptotique à la génératrice a^ant pour projection la partie positive de Taxe des x.
L'arc s de la courbe est donné par la formule
^=Âit^pv/^*-^"^*-^0-^ifi)(^--p)'
s -r- coDSl . = /a* — A* A:* log —
- ^ 'a«-AU«-i-(i -h jj) {hk - p)«.
l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I. — QUADRATURES.
Enfin l'aire du cône, comprise entre un arc de courbe et deux génératrices se projetant suivant les rayons pi et p^, a pour expression
A=v^ rip.^.= v^(--^^')^r---^'^')r-^,
(p.-p,-4-MiogJ^;).
