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sont donnés par l'équation
ou
iz = — 1^ -+- log — I := — iz -4- (a/n -h i) «r,
ce sont ceux que donne la Géométrie élémentaire; on a donc la formule
(5) cosa=TT ï— '^'' \y
dans laquelle il faut donner à 2m-f-i autant de valeurs positives que de valeurs négatives.
Cette formule peut encore s'écrire, en associant les fac-
YÀRIABBES lMAGI?iAIRES. — PONCTIONS ELLIPTIQUES. l65
leurs deux à deux,
(6) cosa=n[ï-. — ;]•
La formule (4) doit être un peu modifiée pour donner le développement de sinw; /(o) étant nul, il faut prendre pour limite inférieure de l'intégrale de l'équation (i) une quantité infiniment petite A, ce qui donne la formule
or a =:^ imz, et, pour m = o, il y a lieu de considérer le facteur t > dont le produit par/(A) z= sinA a u pour limite. On a donc
On arrive plus rapidement encore, en appliquant la for-
mule (4), à la fonction /(w) = > qui admet les racines
a r-r miz à Texception de m = o.
Fonctions elliptiques. — Les formules (4) et (4 bis) conduisent de la môme manière au développement des fonctions elliptiques; r = dbi, suivant qu'il s'agit d'un zéro ou d'un pôle de la fonction ; on arrive ainsi à
(8) sna=aTT
amK -h(a/i-t-i)»K'
m et n devant prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, à l'exception, au numérateur, des valeurs
l66 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
simultanées m = o, /i = o, et à
(9) cnM = ]][
(lo) Anw= ÏT
2mK -»-(2/H- i)tK'
106. Décomposition dUine fonction doublement périodique en fractions simples.
Théohèmk de m. Hermitr. — Toute fonction monodrome F{z) admettant les périodes 2K et 21K' s'exprime linéairement au moyen de la fonction
et de ses dérivées.
Prenons, en effet, Tintégrale
IT^lJ ïi{Z — u)
le long d'un rectangle ayant pour côtés aK et 2IC'; on aura
2r désignant la somme des résidus de la fonction
pour tous les pôles contenus dans le rectangle. Galculon-^ séparément chacun des membres de cette équation. Les zéros de ¥l{z — u) ont pour formule générale
w -f- 2 m K -f- 2 /iiK' ;
un seul d'entre eux sera contenu dans le rectangle d'inté-
