VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES

gration, et le résidu correspondant sera

F(M^2mK — 2mK') = F(w);

les autres infinis sont ceux de la fonction F(;;); soit a Fun d'eux, on aura, au voisinage du point a^

'^(z) restant finie et continue aux environs du point a. On a, d^autre part, en appliquant la série de Taylor,

les dérivées étant prises par rapport à la variable i' = a — m ; multipliant ces deux expressions, on aura, pour le coeffi-

cient du terme en >

AiZ(a---a)-h AjZ'(a — M)-f-...H -^ Z^^-^\a—u\

Quant à l'intégrale I, elle se réduit à une constante; en eflet, deux éléments correspondants pris sur les côtés verticaux du rectangle se détruisent, en vertu des relations

et la somme de deux éléments correspondants sur les côtés horizontaux est

or on a, par hypothèse,

F{z-^iiK') = F(s), d'autre part, la dérivée logarithmique de

H(5-h2lK')=--C »i K 11^5)

l68 PREMIÈRE PARTIE. ~ CHAPITRE VIII.

donne la relation

\\{z-^'iiK') ^ "K H(^)*

la somme des deux éléments se réduira donc à ¥{z)-^dz et l'on aura

ÎK

quantité constante.

L'équation (i) deviendra donc

(2) I = F(M)-+-2[A,Z(a— tt)-hA,Z'(a — tt) — ...],

elle nous donnera l'expression cherchée de F(m) en fonction de Z(m) et de ses dérivées. La constante I se calculera en donnant à u une valeur particulière.

Cette formule est surtout utile pour l'intégration des fonctions doublement périodiques; l'équation (2) devient, en l'intégrant,

l SF(u)du

( = 2:[AilogH(a~ u)-r- A,Z(a— M)...]-4-lMH-consl.

Remarque. — Les résidus, A|, B|, ... satisfont à l'équation de condition

A 1 -4- Bi H- . , , = o,

car l'intégrale de F(z) dz le long du rectangle des périodes

est nulle.

Nous appliquerons ce théorème à quelques exemples : I» F(//) = sn^w. On connaît déjà l'expression

sn* 1/ = . --— — . >

mais elle ne se prête pas à l'intégration ; le théorème qt"