VARIABLES IMAGINAIRES. — PONCTIONS ELLIPTIQUES

précède en fournît une autre. Les relations

sn(M-+- 2K) = — snw, sn(u-+- 21K') = sntt

montrent que sn^u admet les deux périodes 2K et ^iKJ, Les infînis sont doubles et donnés par la formule

2/nKH- (2/1 -f- i)iK';

si nous choisissons le rectangle d'intégration tel qu'il contienne l'infini /R', il n'en contient évidemment pas d'autre; il s'agit donc de développer sn2(eK'+ h) suivant les puissances croissantes de h. Or on a

sn«(iK'-+- h) = , ' ■ ^ ,

puisque snA est une fonction impaire dont la dérivée a i^unité pour limite; on en déduit

et, par suite,

enZ 1/ — I

sn»u = I- îrZ'(tK'— M).

Cette expression peut se simplifier; si Ton prend, en effet, la dérivée logarithmique de la formule

— î 11 134- TîK'

on a

d'où

\ \'{z ^- JK) %'(z)

const.;

et enfin

Z(tK'- a) = - ||^j ^ const.,

sn*M — G — "7-, — — •

2** F(i/) = snwsn(a -f- a). Cette fonction a les deux périodes 2K et ^i¥J \ ses pôles à l'intérieur du rectangle

précédemment défini sont iK! et iK' — a et les infinis correspondants sont simples. D^ailleurs la somme des deux résidus est nulle; il suilGt donc de calculer celui qui est relatif au pôle iK'; or on a

F(iK'-^A)= * '

ksnh A-sn(a-h /i)' doù

^1 = y^ » Bf — —

k^sna k*sna

F(M)^I--A,Z(tK'— a) — B,Z(iK'— a — a),

ce que Ton peut écrire

snusn(u-ha)= C-^ -rz -r; t •

^ ^ k*snaie{u) e(M-e-a)J

Pour déterminer la constante, je fais u = o.

C= ' reïa) eïo)1 A«sQa[e(a) e(o)J'

or 6'(o) = o : on a donc la formule

snw sn(M — a) — , \ ^ -h ^ - ; I

^ ^ k^fii\aiei,a) e{u) e(M — a)J

S"* F(u) ^= cnucn(u-ha). Les pôles de cette fonction, qui a les deux périodes 2K et 21K', correspondent au\ mêmes valeurs de u que dans le cas précédent. Pour calculer le résidu relatif au pôle i'K', formons F(iK'-«- A); or on a

/•1^'^i.N , /k' u,(iK'-^h) /F e,(h)

mais

d'où, en divisant,

lu h "^ 77^ H(>j ~ ik snA *

YARIàBLES imaginaires. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. I7I

on en conclut

' — A* snAsn(a-f- A)

et, par suite,

. An a -- An a

A'« en /Y