CHAPITRE PREMIER

CINÉMATIQUE.

1. Le mouvement d'un point matériel est défini par les formules

X = a -h bt -4- ct^j y = a' -h b't -+- c7«, z = a -^ b' t T- c't^.

Indiquer la nature de la trajectoire et la grandeur de l'accélération à un instant quelconque,

( Paris, juillet 1878, a* question.) On a

■^rï""*^' 'W~'^^' *^î~'^^' l'accélération

est constante de grandeur et de direction : donc la trajectoire est plane et par suite parabolique en général. Elle devient rectil igné si la vitesse initiale a la direction de Taccélération, c'est-à-dire si l'on a

Pour trouver les équations de la trajectoire, nous remplacerons le système des équations données parle suivant:

X = a -\- bt -h cf* ;

c'x — cy = ad — ca' -r-(bc' — cb')t, c'y - c'z ::r a'c'- c'u'-^ {b'c'-^ c'b')t;

d^où, en éliminant /, les équations

r'x — cv — ac -- en c'y — r'z — a'c'-i- c'a"

bc' — cb' b'c' ~ cb'

c( c'x — cy — ac' -+- ca')^

- (a:— a)(bc' — cb'Y — b(c'x — cy — ac' — ca'){bc — cb' u

<{ui représentent la première un plan et la seconde un cylindre parabolique.

2. Une fi f; lire plane se meut dans son plan, de m<inière que deux de ses points A et B restent constamment sur deux droites rectangulaires fixes Ox et Ov ; on sait (]ue le point A est animé d*un mouvement uni/orme sur la droite Ox. On propose de déterminer, pour une époque quelconque :

r* La vitesse ans^ulaire cj autour du centre instanfané;

2° IJ accélération d' un point quelconque de la droitr \B, en grandeur et en direction,

(Paris, novembre 1879, •" question.)

Soient

V» la vitesse constante de A sur Ox\

a = OA, p = OBlcs coordonnées du centre instantané dr

rotation; n la longueur de la droite AB.

On a

OB

CINÉMATIQUE. I75

Nous déterminerons un point quelconque M de AB par la distance BM = /; ses coordonnées seront

on en tire

d^x l ^ ^r ^li ^ .

dt^ ~ a dV^ ~ °' ~dt^ ~ "~a~ dt^ '

Taceélération d'un point de AB est parallèle à Or. On a d'ailleurs

d'où

et

dt^ »-

n(a — /)p* a(a — hv^

dt*

3. "U ne circonférence roule sans glisser sur une circonférence fixe de même rayon et Von considère la courbe fermée décrite pendant un tour complet par un point de la circonférence mobile. Trouver le centre de gravité de cette courbe^ en supposant la densité en chaque point inversement proportionnelle au rayon de courbure de la courbe en ce point,

(École jNormalc, juillet 1882, 2" question.)

Si l'on prend pour axe des x {fîg- i3) la tangente au point A de rehrousseinent de l'épicycloïde, on a, pour les coordonnées d'un point M de la courbe,

a? = 2 r cos — /• cos 2 0, y z^ ir sinO — r sin2 0.

La masse d'un élément MM'= ds delà courbe est

dm — ds - — kz.

PREBltmE PAmnE. — GHAPITKE I.

£ étant l^aogle de contingence, c'est-à-dire Tangle de Ml avec MT; or, si l'on prend l'M| =^ IM, l'angle de ces deux

db

droites est cA; on a aussi M| rM'= - y d'où e = |rf9. Si donc on appelle m la masse d'un arc d'épicvcloïde compté

à partir de A, X et Y les coordonnées de son centre de gravité, on aura

m= j dm = |A:6; d'où les équations

OX = / arrfe = r(asin6 — |sinaô),

6Y = / 7«fe = r(^cos26 — 2cos6-f-|).

Jq

Le centre de gravité de la courbe s'obtient en faisant 6 == 2t:; il est donc au centre du cercle fixe.

CINÉHATIQUE. I77

4. On considère un plan lié invariablement à un cercle de rayon r qui roule sans glisser sur un cercle de même rayon. Un point quelconque du plan mobile décrit, pendant une révolution complète, une courbe fermée; quel est dans ce plan le lieu des points dont la trajectoire ait une aire donnée A^?

(École Normale, juillet i883, 2* question.)

Soient N le point décrivant, a sa distance au centre C du cercle mobile*, nous pouvons supposer que le centre instantané I se meut avec la vitesse angulaire constante co sur le cercle fixe, et, si Ton appelle v la vitesse de N dans ce mouvement, on aura, pour Taire élémentaire décrite,

d\* = \vdt. OB,

OB étant la distance au point O de la tangente à la courbe décrite. Or la vitesse angulaire instantanée autour de I est 2 a>y puisque Fangle de la rotation élémentaire est la somme des angles de contingence de la base et de la roulante : donc

d\* =(ûdt. IN. OB = IN.OB.rfe = dB(ÎN* h- IN.rcosa);

or

IN cosa = r — acos6,

IN =/•«-+- a»— aarcosO;

d'où

dX^ 1--Z (2r»H- a«— 3ar cos0)c?6,

Le lieu cherché est un cercle décrit de C comme centre

avec un ra^on a = W ir^; si a >• r, l'aire A^ comprend, outre l'aire de la courbe, celle de la boucle, qui se trouve ainsi répétée deux fois.

On arrive tout aussi vite au résultat qui précède en formant

A*r^ if(Tdy—ydx).

ViLUÉ. — Compositions. la

178 Kratm PAMTU. — CHAFITU I.