Accélération dans le mouvemeni épicycloïdal plan
Soient, à un instant quelconque, z, ^ les coordonnées du centre instantané de rotation et co la ^-itesse angulaire; les composantes de la vitesse d'un point (x, y) du svslème mobile sont
celles de Faccélération sont
Le lieu des points du plan ayant même accélération (v est le cercle
/ J , n.t ,dr dut </3\
Il \ a un point et un seul pour lequel Taccélération est nulle : il est au point de rencontre des deux droites rectangulaires
dtai M
sauf dans le cas où Ton a à la fois co = o, -5- = o : tous les
ai
points du plan ont alors une accélération nulle.
L'accélération normale — est nulle pour le centre inslan-
CINÉMATIQUE. I79
tané et pour les points pour lesquels p = oo , ou
dx d^Y dy d^T
TÛ dh "'âê ~dF "^^'^
cette équation devient, après suppression du facteur tj*^,
c'est celle d*un cercle passant par le centre instantané. La trajectoire de chacun des points de ce cercle présente une inflexion.
Enfin y pour trouver les points pour lesquels l'accélération tangentielle -3- est nulle, il suflit de dériver l'équation
«^«=a)«[(ar-a)«-f-(7-p)«],
ce qui nous donne
le lieu des points cherchés est donc la circonférence
qui coupe rectangulairement la circonférence d'inflexion et passe comme elle par le centre instantané; il convient de remarquer qu'en ce point Taccélération tangentielle n'est pas nulle; à cause de i^ = o, elle prend une forme absolument indéterminée. La fonction -j- est discontinue en ce
ai
point du plan y mais seulement le long de la circonférence (4)* Le second point d'intersection des circonférences (3) et (4) est le point sans accélération fourni aussi
l8o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
par les équations (2). Le point sans accélération a reçu le nom de centre des accélérations, parce que raccélération de tout point du système est la même que si la rotation instantanée variable &> avait lieu efiectivement autour de ce point considéré comme fixe. En eflet, le mouvement du système peut être considéré comme résultant de la translation du point sans accélération et de la rotation eu autour de ce point; Taccélération d'un point quelconque est la résultante de son accélération dans ce dernier mouvement, de Taccélération d'entraînement, qui est nulle, et de l'accélération centripète composée, qui l'est également, puisqu'il y a translation.
6. On suppose quhin plan P soit lié invariablement à un cercle C roulant sur un cercle fixe C de même rayon ; de plus f le point de contact de C et C se meut uniformément sur C. Trouver^ pour une position quelconque de P, le point de ce plan dont V accélération est nulle.
(Paris, juillet i882| n* question.)
La vitesse angulaire instantanée co = a -1- étant aussi
constante, les coordonnées du point cherché sont données par
or
a = r cosO, p = r sinO,
d'où
a7 = |rcos0, ^ = |rsin6.
Le point sans accélération est situé sur le prolongement du rayon du point de contact et à la moitié du rayon à partir de ce point.
CINÉMATIQUE. l8l
7. Les données étant celles du numéro précédent, on demande quelle est l'accélération d'un point du cercle C au moment où il se trouve sur la circonférence C.
(Paris, novembre 1882, 2* question.)
En vertu de la condition -, = o, Taccélération d'un
at '
point quelconque du plan P passe par le centre des accélérations et a pour expression Rco^; appliquant au point de contact des deux circonférences et représentant par v la vitesse de déplacement de ce point, on a, pour l'accélération cherchée,
On arrive aussi à ce résultat en appliquant les formules qui donnent les composantes de l'accélération dans le mouvement épicycloïdal plan, au point a: ^^ a, ^ = 6,
dt^
dn /d^y . .
ces formules ne supposent nullement -^ = o.
Enfin il est encore plus simple de chercher la déviation du point de contact : c'est la ligne qui joint ce point à sa situation infiniment voisine, puisque le point de contact I est centre instantané de rotation. Or cette igne, tangente à la trajectoire de I, passe par le centre de Q et a pour expression rrfO.e :^ rrfÔ*; l'accélération est donc
/d^Y r« \dtj r
La même méthode s'applique à la recherche de l'accélération du point de contact de la base et de la roulante
l8a PECXifeXB PAMTU. — CHAPITU I.
dans le mouvemeat épicjcloïdal plan ; elle est tangentielle, dirigée vers le centre de courbure de la roulante et a pour grandeur
r et r' représentant les rayons de courbure de la courbe fixe et de la courbe mobile et ^ la >4tesse avec laquelle le centre instantané se déplace sur la courbe fixe.
8. Étant donnés un plan fixe P, un cercle fixe de centre O {fig» \^) €ty sur la circonférence de ce cercle,
Fig. 14.
un point fixe A, le mouvement d'un plan mobile P sur le plan fixe P est défini de la façon suisrante : une droite BB\ fixe dans le plan F, passe par le point A, pendant quun point B, fixe sur cette droite, décrit la circonférence du cercle O :
I** Trousrer dans ce mouvement la base et la roulante;
2* En supposant que le point B décrive la circonférence avec une vitesse constante, trouver, pour unepo-
CINÉMATIQUE. l83
sition quelconque du plan mobile F, le point de ce plan dont V accélération est nulle.
(Paris, juillet i883, 2" question.)
Le point B du plan P' décrivant la circonférence O, le centre instantané est sur BO ; d'ailleurs le point A, considéré comme appartenant au plan P, vient, après un déplacement infiniment petit de ce plan, en Â|^ tel que B| A, = BA; donc la trajectoire de A est tangente à AB et I est le centre cherché. La base est donc la circonférence donnée et la roulante une circonférence de rayon double.
Soit 2(i> la vitesse angulaire constante de B sur la circonférence O, tù sera la vitesse angulaire instantanée autour de I; on le voit, soit par le déplacement élémentaire de 6, soit en remarquant que la rotation élémentaire autour de I est la différence des angles de contingence de la base et de la roulante. Les coordonnées du centre des accélérations sont donc données par les formules
or, si l'on prend le centre O pour origine,
a=rcos2U)<, p = rsin2cui;
d'où
Le point cherché est le symétrique de B par rapport au centre instantané, et le lieu de ces points, quand P' se déplace, est un cercle concentrique au cercle O et de rayon triple.
9. On sait qvUil existe à chaque instant dans le mouvement dhin plan mobile Q sur un plan fixe P deux
l84 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
points, dont Vun A a une vitesse nulle et Vautre B une accélération nulle. On demande quel doit être lemouventent du plan Q sur le plan P pour que le point B soit fixe et la distance AB constante,
(Paris, juillet 1879, îi* question.)
Le mouvement du plan Q sera défini quand on connaîtra la base, la roulante, ]a vitesse angulaire instantanée ai et la vitesse de déplacement du centre instantané sur ]a courbe fixe. Or la base est une circonférence décrite de B comme centre avec le ravon BA = r; on a d'ailleurs
p étant le rajon de courbure de la roulante compté en sens inverse de r; cette formule nous donnera p quand nous
ds ' aurons calculé <o et -1- • Si l'on prend pour origine le point
sans accélération, on a les équations
on en déduit
ou
^ dt dt
la vitesse angulaire co est constante et égale à - • Substituant dans Tune quelconque des formules (2), on trouve
(3) Si--^--r'
la vitesse angulaire du centre instantané est constante :
CINÉMATIQUE. l85
elle est égale et de sens contraire à la vitesse angulaire instantanée.
Enfin la formule (i) devient
la courbe mobile est donc un cercle de rayon - roulant à l'intérieur de la base.
10. On considère à un instant déterminé un système invariable en mouvement. En prenant dans ce système trois axes coordonnés rectangulaires dont l'axe des x est l'axe de la rotation instantanée, on demande d'écrire les projections sur les axes de la vitesse d'un point quelconque {x^y^ z) du système.
Démontrer ensuite, à l'aide de ces formules, qu'il existe f dans un plan quelconque non parallèle à l'axe instantané, un point et un seul dont la vitesse est perpendiculaire au plan,
(Paris, novembre i883, 2* question.)
Soient Uj v ei w les composantes de la vitesse de l'origine, celles d'un point quelconque seront
dx dv dz
ponr que cette résultante soit perpendiculaire au plan
il) Aa:— B7-^C5-+-D = o,
il faut que
les équations (2) et (3) ont une solution commune, puisque A^o.
l86 DCUXIÈXE PAITIK. — CHAPITRE I.
H. Un point M se meut d^un mouvement uni/orme sur une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit: I** on demande de montrer que, toutes les fois que le point M traversera un plan P, la normale à la trajectoire située dans ce plan P ira passer par un point fixe de ce plan; 2** on projette le point M sur un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, parallèlement à la tangente à r/iélice au point où elle coupe ce plan. Soit m la projection de M. On construit, à un instant quelconque, la grandeur géométrique mm'j qui représente V accélération du point /n. On demande le lieu du point m'. Dans quel cas se réduira-t-il à une droite? Quelle est la trajectoire du point m?
(Paris, novembre 1881, 2' question.)
I® Soient
j;» -h yî r= r*. z = k arc tans - = A©
les équations de Thélice,
AX-^BY-+-GZ-+-D = o
celle d^un plan. Le plan normal à Théliee a pour équation
or
xdx-\-ydy^o^ k{xdy — y dx) = dz(x*-hy^)]
d'où
dx dy ^ dz
Les équations de la normale située dans le plan P sont
donc
jr(X-x)-xiY-y)- k(Z-z)=:o,
que l'on peut écrire
kB — Cx ~ ITAtA"— C7 *" =^D — C^'
CINÉMATIQUE. 187
Ces équations sont satisfaites, quelles que soient x^yel z, par
a° La tangente à Thélice au point où elle perce le plan des xy a pour équations
celles de la projetante Mm sont, par suite,
d'où, pour les coordonnées du point m,
rz
Xz=x = rco»Oj ^ =y -r = r(siii?p — <p).
Le lieu des points m est une cycloïdc engendrée par un point de la circonférence de rayon r roulant sur la droite X r^ — r et qui a un sommet sur l'axe OX.
3® La vitesse angulaire -^ =îsi étant constante, l'accélération du point m a pour composantes
rf»X , rf«Y
-^ ^ — ru>*cosç>, -^ =-rco»sinç;
les coordonnées du point /n' sont donc
X'= r(i — (D*) coso, Y'= r(i — to*) sino — r<p;
la courbe lieu de ces points est encore une cycloïde. Le point m' est sur le même rayon du cercle décrivant que m et à la distance a^^ r{i — co^) du centre.
Ce lieu devient l'axe des y pour <o = i .
12, Un corps solide se meut autour d'un point fixe; trousser à chaque instant le lieu des points du corps
l88 DEl'XifcXB PARTIE. — CHAPITRE I.
pour lesquels V accélération est perpendiculaire à Vaxe
instantané de rotation.
(Paris, juillet 1880, 2* question.)
Soient j:,v, z les coordonnées d'un point du corps rapporté à des axes fixes passant par le point fixe ; />, ^ et r les composantes de la rotation instantanée; on a
. (ix dv dz
(I) ai=q'- ry, -j- = rx -pz. -^-^=py-qx,
, . dx dy dz
Or, pour les points cherchés, .,. d^x d^y d*s
si Ton dérive Féquation (2) en tenant compte de (3), il
vient
, dx dp dy dq dz dr
^^^ dt di ^ it Tt'^di di "^
ou
' p \ dp . . dq , ^ dr , .
t5) '^^{q^-ry)-i- -^^{rx—pz)-\- ^(py-Ç^) = o,
équation d'un plan passant par l'axe instantané. Des équations (2) et (4) on déduit
(6) (p^dp)^ ^(q-^dq)^ -h{r-hdr)-^ =0;
les équations (2) et (6) montrent que la vitesse de tout point du lieu est normale à l'axe instantané et à sa situation infiniment voisine. On en conclut que ce lieu est le plan tangent au cône lieu des axes instantanés, le long de l'axe qui correspond à l'instant que l'on considère.
13. Un cône G de révolution est fixe; un second cône de révolution G et de même sommet O roule extérieure-
CINÉMATIQUE. J 89
menty sans glisser, sur le premier , de telle sorte que la génératrice de contact se déplace sur G d\in mouvement uniforme. On considère un solide lié invariablement au cône CJ. Trouver à un moment quelconque les points du solide dont l^ accélération est à ce moment parallèle à Vaxe instantané de rotation.
(Paris, juillet 1884, îi" question.)
Soit plus généralement un solide dont un point O est fixe; les composantes de Taccélération d'un point quelconque de ce corps s'obtiennent en dérivant les équations (i)du n°12
le lieu des points cherchés satisfaisant aux équations
dl*
dt^
dt^
est une droite passant par le point fixe.
Pour trouver les équations de cette droite dans le cas particulier de l'énoncé, nous prendrons pour axe des x la génératrice de contact des deux cônes, à l'instant considéré et pour plan des xz celui de leurs axes; nous choisirons Oz, de telle sorte que l'axe du cône fixe soit dans l'angle xOz^ enfin nous désignerons par a et a' les demiangles au sommet des cônes G et G' et par (o la vitesse angulaire constante de rotation de la génératrice de contact. La vitesse angulaire instantanée est la résultante de deux autres faisant entre elles l'angle a -hoc' et dont l'une est (o;
igO DEUXIÈME PAITIE. — CHAPITRE I.
on a donc
sin(a -^ a') p — ta ; — . — , q = Oy r- o;
sa grandeur étant constante, on a aussi
dp ^ o, dg =ps\ni X ui di, dr = o.
Les équations de condition
deviennent alors
= — tûxp sina — /?*^ = o
dt^ OU
cola -i- cola'
La droite cherchée est donc située dans le plan des deux axes, du même côté de Taxe instantané que l'axe du cône G; enfin elle fait avec la génératrice de contact un angle inférieur au plus petit des deux angles a et a'.
