Un point M est attiré par une droite indéfinie O jr

en raison inverse du cube de sa distance à cette droite ; on

connaît sa position initiale, ainsi que la grandeur et la

direction de sa vitesse initiale supposée contenue dans

un même plan que la droite fixe Ox, Déterminer sa

trajectoire en distinguant les divers cas qui peuvent se

présenter.

(Lille, novembre 1876.)

Prenons l'axe des y passant par la position initiale v» du mobile et pour directions positives des axes celles qui font un angle aigu avec la direction de la vitesse initiale c«. Les équations du mouvement sont

d'où

(a) JT — Vo'cosa;

la projection de M sur Ox est animée d^un mouvement uniforme dans le sens des x positifs.

On a encore

(3) kt+c=- v^iT-r-T^. = L^;

MOUYEMBNT D*LN POINT LIBRE* IqS

d'où Ton déduit

c^ Jo^ = Voi'osina

et, en intégrant (3),

(1) y^=-kO-^ict^yl,

Éliminant le temps entre (2) et (4)) on a Péquation de la trajectoire

^^' lii;Jcos««r^ k ) ii-^ "

Les équations (3), (4) et (5) ne sont d'ailleurs applicables que quand y ne change pas de signe ; mais, si le mobile vient à couper l'axe des x, il est sollicité par une force infinie et arrive sur cette droite avec une vitesse infinie; les lois de la Mécanique ne peuvent donc s'appliquer à un tel mouvement, qui ne se présente pas dans la nature. Si l'on veut néanmoins poursuivre l'étude théorique du mouvement, on se guide sur des considérations de symétrie et Ton convient d'appliquer les mêmes formules à la seconde période du mouvement. Mais, s'il s'agit de formules déduites de l'intégration, cette application ne peut se faire sans un changement des constantes introduites par l'intégration; quand, en effet, la quantité sous le signe / passe

par l'infini, la valeur de l'intégrale est purement conventionnelle, elle n'a donc aucune raison pour être égale à la diflTérence des valeurs que prend l'intégrale indéfinie aux limites de l'intégration.

Lies divers cas qui peuvent se présenter dans le problème actuel dépendent de la nature de la courbe (5), c'est-à-dire des valeurs de k.

I* A' ^- • o. — La courbe est une hyperbole ayant la droite

attirante pour axe transverse ; soit d'abord y^ > o, j^ et ~- ViLLii. — Compositions, i3

ne s'annulant jamais, les formules sont toujours applicables et le mouvement a lieu constamment dans le même sens; le mobile reste sur la partie supérieure de la branche droite d'hyperbole.

Si J'o *< O7 le mobile vient rencontrer Ox au bout du temps ^4, marqué par la plus petite racine de Téquation (4 dans laquelle on faity = o,

A partir de cet instant, y devient positif; il faut prendrt* le signe supérieur du radical dans réquation(3)^ et la nouvelle constante C4, qui doit être introduite, est déterminée par Téquation

d'où

Dans la première partie du mouvement, le mobile décrit

Fig. i5.

la portion Mq A (fifr, i5) de la branche gauche de l'hyperbole

( -Hc) — A:v«= ui;

\VoCOSa j y r-i

à parlîr de l'instant t^, il se meut sur Thyperbole

\vocosa ^ ^J -^ '

qui s'obtient par un transport de la première vers les x

négatifs de 1 — — ' c'est-à-dire delà longueur de Taxe

transverse. Le mouvement se continue indéfiniment sur la branche droite de cette hyperbole située au-dessus de Ox. 2** k<i o. — Une discussion analogue à la précédente montrerait que le signe de c ou de yo est sans intérêt, et <|ue la trajectoire se compose d'une branche d'ellipse et d'une série de demi-ellipses situées alternativement de part et d'autre de Ox, chacune d'elles s'obtenant par le transport de la précédente, vers les x positifs, d'une longueur égale au grand axe. Ces demi-ellipses seront d'ailleurs parcourues dans le même temps — j«

3^ k = o. — Dans le cas de jKo !> Oj la trajectoire est la branche supérieure de la parabole

Si j''o <I o, le mobile décrit une partie de la parabole

^ v^ cos a "^ "

et ensuite la branche supérieure d'une parabole symétrique par rapport à la tangente à son sommet.

16. Un point matériely non pesant, est lancé avec une vitesse i^^, parallèlement à une droite fixe vers la^ quelle il est attiré avec une force proportionnelle à la distance et dont la valeur est p.* à l'unité de distance;

igG DECXiftMB PAITIB. — CBAPITU II.

il éprouve en outre^ de la part du milieu dans lequel il se meuty une résistance proportionnelle à sa vitesse et dont la valeur est ik pour une vitesse égale à V unité. Etudier les divers cas que peut présenter le mouvement de ce point suivant les grandeurs relatives de ;i et de k.

(Poitiers, juillet 1880.]

Prenant la droite attirante pour axe des x et Taxe des y passant par la position initiale, on a les équations

d^x , dx , dx

' dt^ ds dt

on en tire

X \'a constamment en croissant et atteint sa valeur maximum ~ pour / infini.

Les racines de Féquation caractéristique de ( 2)

a*H- 2 Xa -h jjL* = o

peuvent être réelles ou imaginaires. Si Ar >> jx, elles sonl réelles et négatives; en les représentant par — ai et — «2? on a

(4) j.= ^JL^(gt,e-=t.'-aie-«.0.

y va constamment en décroissant et devient nul pour I = QO . Le coeflicient angulaire de la tangente à la ira-

MOUYEMBlfT d'uN POINT LIBRB. 197

jectoire est donné par la formule

ax vq{oli — dxy

il est constamment négatif et croît en valeur absolue avec /; la courbe arrive à angle droit sur l'axe des x.

Si A' <C [^9 les racines de Téquation caractéristique sont imaginaires et, en posant y/p.^ — A"^ == X^ on a

^6) j=Y«~*H^cosX^-+-/-8inX0,

les maxima de^ sont donnés par \t = 2/171 et les minima par X/ .= (2/1 -4- i)7t. La trajectoire est une sorte de sinusoïde coupant Taxe des x et dont les branches vont en se rétrécissant dans les deux sens.

17. Étudier le mouvement d'un point matériel dans un plan, en supposant qu'il soit attiré par un point fixe de ce plan y en raison inverse de la cinquième puissance de la distance.

(Grenoble, juillet 1880.)

Prenant le point fixe pour pôle, le principe des aires est applicable et donne Téquation

(1) r« ^ = c«= ToPosine,

les angles étant comptés dans le sens de la vitesse initiale (^0 ^^ ^ désignant Tangle de ^0 avec r^.

Le théorème du travail et des forces vives fournit la seconde équation du mouvement

198 DECXltME PâBTIE. — CHAPITRE II.

Éliminant dt entre les équations (i) et (2), on a Téquation (liflerentielle de la trajectoire

le problème revient à l'étude de cette courbe.

i® vî ^ = — k^<io» — Les racines en H du iri-

nôme sous le radical sont réelles et de signes contraires

c«^ ==hy->(r»-r;)(r«-f-r*");

r ne peut recevoir de valeur supérieure à r^. Soit, par exemple, (^) ^o : on doit prendre d'abord le signe supérieur du radical et r croît de r^ à Ti ; pour r = ri le radical s'annule, et, comme r ne peut continuer à croître, on doit prendre ensuite le signe inférieur du radical; r décroît donc de Ti à — Tj et recommence à croître. La courbe se compose d'une série de boucles égales tangentes au cercle ri et se coupant à l'origine ; elle ne se terme pas en général. Ces boucles sont d'ailleurs décrites dans des temps égaux représentés par l'intégrale

r* dr

)(r*-+-rj)

2" v\ — -*^ ^rz k^^o. — Trois cas peuvent alors se pre-

senter :

dr (a) Les racines du trinôme sont imaginaires, --^ ne

s'annulant jamais conserve toujours le même signe et va constamment en croissant ou en décroissant; la courbe décrite est une spirale qui va à l'infini : elle passe à rori-

(6) Les racines sont réelles; alors elles sont positives et Ton a

soit /'a^ r< ; rg est nécessairement inférieur à r^ ou supérieur à r2. Dans le cas de Tq <C ^m la courbe se compose d'une série de boucles égales (i®) ; si To > Tj , on peut avoir

soit (-^ j l>o : r croît jusqu'à l'infini; soit (^) <Co :

alors r commence à décroître jusqu'à r^ et croît ensuite indéfiniment avec 0.

dr r^~r\*

elle

est

intégrable

et donne

r = ri

X étant une constante qui, si Ton fait passer Taxe polaire par la position initiale du mobile, est déterminée par Téquation

y. est donc supérieure à l'unité en valeur absolue, elle est positive si ro^>r< et négative dans le cas contraire.

Soit rol> Fi, le lieu représenté par l'équation (4) se compose de quatre spirales à branche parabolique {/ig* i6) asymptotiques au cercle r^ et symétriques deux à deux par rapport kOx; deux d'entre elles, les seules pouvant convenir au problème dont il s'agit, se coupent au point Tq. Le mobile suit la branche infinie de l'une d'elles, ou la

DEUXitHE PAITIE. — CHAPITRE II.