partie asymptoliqne à la circonférence ri de Taulre, sui
vantquc(^)^>o.
Si ro<irtj la courbe est continue, symétrique par rapport à Ojt et entièrement intérieure au cercle r^ auquel
Fig. i6.
elle est asymptotique dans les deux sens ; deux branches se croisent à Forigine et le mobile passe en ce point si
3** vl '— = G. — L'équation différentielle de la trace toire est encore intégrable et donne
cos(6 — a)
qui représente une circonférence passant à Torigine; la constante a est déterminée par la condition que cette circonférence passe par la position initiale du mobile.
Nous avons supposé, dans Tétude de ce problème, que
Inéquation des aires et celle des forces vives continuaient à s'appliquer dans le cas où, le mobile passant à Torigine, les fonctions étudiées deviennent discontinues; nous agirons de même dans tous les problèmes de ce genre, mais il convient de remarquer que c'est là une convention au sujet de laquelle il conviendrait de faire les mêmes observations que dans l'exercice n° lo.
18. Un point matériel de masse égale à i est attiré par un centre fixe; P attraction à la distance r est égale
à -^î [A étant une constante. On suppose quà V origine
du temps ce point matériel est situé à une distance a du centre fixe et quHl est animé, perpendiculairement au
rayon vecteur, d*une vitesse égale à i/ -'^- On demande
de déterminer la trajectoire du point mobile, d^ assigner sa position et sa vitesse à V époque t et d^ exprimer l^arc parcouru depuis Vorigine du temps par une intégrale de la forme \ -— — ^- ^ .
j yi'k^ sin'cp
(Paris, novembre 1878.)
On a les deux équations
(a) i,t = vl-%J
qui, par l'élimination de dt^ donnent
202 DICXitMC PAITIK. — CllàPITIB II.
et, en intégrant,
t 3) r* -- a*cosa6,
en prenant pour axe polaire le rayon vecteur initial ; cette équation représente une lemniscate.
La position, à un instant donné du mobile sur sa trajectoire, sera déterminée si Ton connaît en fonction de t; or les équations (i) et (3) donnent
(4) 6=.larcsin(c-^^^/^fj;
pour la partie supérieure de la boucle droite, c=-^ o et le temps employé à parcourir cet arc est
Après avoir passé à l'origine avec une vitesse infinie, le mobile parcourt, dans le même temps T, la partie inférieure de la boucle gauche ; donc, pour 8 ^rz tt, la formule
(ibis) sin26=>^H-c
doit donner t=^ 2Ï, ce qui exige que c= — 2; il y a changement de constante en même temps que 8 saute brusquement de la valeur 7 à 7: -j- 7 • L'équation
6 —larcsinf Y — 2 j
convient pour tout le parcours de la boucle gauche; à chaque passage du mobile par l'origine, la constante cdoit être diminuée de deux unités.
On irouverait de même (6) r^^-au/i-f^-^cY,
le mouvement est d'ailleurs révoliitif. Il en est ainsi de tous les mouvements auxquels le principe des aires est applicable, pourvu que la trajectoire n'ait pas de branche infinie. L'arc parcouru s'exprime en fonction de 6 en partant de la formule (2), qui peut s'écrire
ds -= {/ Ç -- =:a^— = — =^ — — : ; V ^ ^ ^ V^i — asin«0
toutefois, pour la réduction complète aux fonctions elliptiques, il faudrait que le module fût inférieur à l'unité. Pour effectuer cette transformation, il suffit de poser
u — v^2 sin 6,
d'où
et
g a r" du
ce qui est la formule demandée, permettant l'emploi des Tables des fonctions elliptiques.
19. Trouver le mouvement d'un point matériel sollicité par deux forces dirigées vers un même centre fixe, l'une attractive et variant proportionnellement fi la distance, Vautre répulsive et variant en raison inverse du cube de la distance. On supposera la vitesse initiale perpendiculaire au rayon vecteur initiaL
(Paris, juillet 1869.)
»:4 MrOOB PaKIV. — CMAPfTBE II.
r* rfl — /•» «"i <// ,
r--.; = ,/ .-,tr-^|rfr.
■ 4ii:$--.]=.:-,-H-.:.-W,^-;:;).
P:f.n5- foar Al-iv^er, »-; ^ = «"» TéquatioD (i)peut
OD en tinr
En supposant ^^=o pour r = r^^ on aura, sans constante d*înté?ration.
— — arc co<
d*où, pour Féquation de la trajectoire,
, I I ./i0a*../i6 (21 — r= -- cos* sin* — •
Cette courbe est comprise entre deux cercles concentriques au pôle et ayant pour rayons r© et - ; l'angle d'un rayon vecteur minimum, avec le maximum suivant, est -^ • -^ moindre que -; la courbe est fermée et algébrique
si — est commensurable. Il est aisé de voir que, en ap-
MOUVEMENT D*Ulf POINT LIBRE. 2o5
pHquant le plan de la figure sur un cône droit, dont le demi-angle au sommet ait pour sinus — > le pôle étant
au sommet du cône, la transformée de la trajectoire se projettera sur un plan perpendiculaire à Taxe du cône suivant une ellipse dont les demi-axes seront -^-^ et — La trajectoire se réduit à un cercle si
cette équation, dont le second membre représente l'accélération du mobile à l'instant initial, est la relation constante du mouvement circulaire uniforme.
Chaque branche de trajectoire allant d'un cercle limite à l'autre présente un point d'inflexion; d'ailleurs, si, à un certain instant, le mobile a une accélération nulle, sa trajectoire s'infléchit : donc, si la valeur r = - > pour laquelle
l'accélération serait nulle, est comprise entre les limites r© et — j c'est en ce point qu'a lieu l'inflexion de la trajectoire. Toutefois, si r = —- coïncide avecl'une des limites,
le rayon de courbure de la trajectoire est infini, sans qu'il y ait inflexion ; seulement, la tangente a un contactdu troisième ordre.
La loi du mouvement sur la trajectoire est donnée par
le principe des aires
dt=— '^'^
rf6
— r cos' h -— sin* —
(3) tang--- ^ -tangixf.
Le temps employé pour décrire l'arc compris entre un
ao6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
maximum et un minimum de r est — et ne dépend point de )w
20. Un point matériel P est sollicite par une force dirigée vers un centre fixe O et qui dépend de sa distance au point O; l'action de la force sur l'unité de niasse s^ exprime par la formule
On suppose le point P placé d'abord en Q à une distance a du centre O ; on imprime à ce point une vitesse
perpendiculaire au rayon OC et égale à — : déterminer
son mouvement.
(Paris, juillet 1870.)
Le principe des aires et l'intégrale des forces vives fournissent les deux équations
les constantes se détruisent, et Ton a, pour Téquation différentielle de la trajectoire,
r* \rfe y "^" /•« ~" ri T^ '
r dr
d'où, si l'on prend pour axe polaire le rayon vecteur initial,
zt: 2O = arc cos j- ,
(3) r* = a« cos*e -f- b* sin«6, cette courbe est la podaire de l'ellipse
relativement à son centre ; c'est aussi la transformée par
rayons vecteurs réciproques de TcUipse d'axes - et y
On a encore, entre les coordonnées et le temps, les relations
dt=-^ [a»-h6« — (a«— 6«)cos2e]</e,
Le mouvement est circulaire et uniforme si a --• b.
21. Trouver le mouvement d'un point matériel M de masse m, sollicité par une force dirigée vers un point
fixe O et égal à — -^ — > r étant la distance OM et h
C angle que fait ce rayon vecteur avec le rayon vecteur initial OS. = a. On supposera la vitesse initiale perpendiculaire au rayon vecteur initial OA et égale ^ i/t^î
on donnera une formule permettant de calculer la position du mobile à chaque instant; on calculera la durée de la révolution et on la comparera à celle qui aurait lieu si le mobile, pla^é dans les mêmes conditions initiales, était sollicité par la force —^*
(École Normale, juillet 1877, i" question.)
2o8 IMCXlfeME PAIT». — CHAPITBE 11.
Appliquant les formules qui conviennent au cas des forces centrales, on a les équations
(I) r«^-=c« = a^o=y jafx,
d*où Téquation différentielle de la trajectoire
(^) :^T -^ ~ = = 7- (i— COS26);
rintégrale générale de cette équation est
- = A cos8 — B sin8 -i- •
r ia
Pour 6 =z o, r = a, d'où A = o ; d'ailleurs réqualion
devient, pour 6 = 0,
d'où B = o. L'équation de la trajectoire est donc
r aa
celte courbe, dont les rayons vecteurs sont les carrés de ceux d'une ellipse rapportée à son centre, a son grand aie double du petit et dirigé normalement à Taxe polaire.
La relation entre et le temps se déduit des équations^ (i) et (/J), qui donnent
ati . -r a II rtz ' -— .
V 3 ' (i-hcos«ejî
d'où
(5) 'l/ô<«H^ = «M -.-arc tang — -^ ^^^-^
Faisant dans cette formule 8 = 90°, on a / = { T, en appelant T la durée de la révolution du point matériel, d'où
(6) T = 37ra^/^.
Si la force centrale qui sollicite le mobile a pour exprès-
sion -—7- > Téquation différentielle de la trajectoire est
c?02 r ia d'où
- = A cosO -j- B sin6 h >
et, si l'on tient compte des conditions initiales,
(7) 1 = J(3 cose):
c^est l'équation d'une ellipse rapportée à son axe focal et à son foyer de gauche ; son grand axe 2 a = | a et la durée T| de la révolution du mobile est donnée parla formule
^~ Tî - 16TÎ '
22. Soient O un centre d^attractiony OX une droite fixe passant par ce point; un point matériel M est soL licite à chaque instant par une force dirigée vers le
point O et dont l* intensité est ^ ^ ^^ > ^ désignant une
ViLLii:. — CompoBÎUont. \\
constante, r et ^ les coordonnées polaires du point M, r = OM ; 8 = XOM. La vitesse initiale est dirigée dans le plan qui passe par la position initiale M© et la droite OX. On demande de déterminer la nature de la trajectoire du point matériel.
(Paris, novembre 1879, a* questioD.)
On pourrait, comme dans l'exercice précédent, se servir de la formule de Binel pour obtenir l'équation de la trajectoire, en coordonnées polaires ; nous appliquerons de préférence les équations générales du mouvement d'un point qui conduisent à un résultat se prêtant mieux à la discussion.
On a les équations
d^x {JL ^__ V- d^y )x.y ^
la première donne
(^') Kdt)^^--!^'
si Ton pose
(df\^
Le théorème des aires fournit l'équation
c^ dx X dy — y dx =dc c-dt =-±z
qui s'intègre immédiatement et conduit à l'équation de la trajectoire
(3) ix-(y — axy—c^x{bx-^a[k) = o;
c'est une courbe du second degré passant à l'origine et tangente en ce pointa l'axe des j\ La courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que 6^0; l'abscisse
MOUVEMENT d'UN POINT LIBRE. 211
du centre — ^ est positive dans le premier cas et négative dans le dernier; la trajectoire se réduit à une droite
Vq y ^ ax = "—x
si c- = o, c'est-à-dire si la vitesse initiale est dirigée suivant OMo, ou en sens opposé.
La courbe coupe Taxe des x aux points
Xi = o, X2= -—-^ j— - •
ja' a- — oc*
jr2>o dans le cas de Tellipse et de la parabole; il peut être négatif dans le cas de l'hyperbole. Si la trajectoire est elliptique, le mouvement est révolutif et, chaque fois que le mobile passe à l'origine, sa vitesse est infinie ; si la trajectoire est parabolique ou hyperbolique, le mobile s'éloigne indéfiniment avec une vitesse qui tend vers zéro.
La loi du mouvement de la projection du mobile sur Taxe des x est donnée par l'équation
d'où
cette dernière intégrale est un arc sinus ou un logarithme suivant que la trajectoire est une ellipse ou une hyperbole. Si la courbe est une parabole, on a
23. Un point matériel libre, sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, se meut de manière à être
212 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE If.
à chaque instant sur une spirale logarithmique ayant ce centre pour pôle et tournant uniformément autour de lui. On demande la valeur de la force en fonction de la distance du point mobile au centre fixe, U expression de cette force étant trouvée, on cherchera V équation générale de la trajectoire d'un point matérieU
soumis à V action de cette force.
(Paris, novembre 1874.)
Prenons pour axe polaire le rayon vecteur inilial OA = a et comptons les angles 6 dans le* sens de la rotation d'entraînement w; Téquation de la trajectoire relative est
r = ae"9
et, comme
on a la relation
(i) / = ae«(0-o>/;^
qui, jointe au théorème des aires
(2) r2rfO = cé//,
détermine r et en fonction de /.
Pour trouver l'expression de la force centrale /(/•), nous appliquerons la formule de Binet
or de (i) on tire
(ibis) — (o/=-log->
et, si Ton élimine dt entre la différentielle de cette équation etFéquation (2), on a Téquation différentielle de la
I MOUVEMENT B'UN POINT LIBRE. 'i I 3
irajecloire
nr
qui permet de calculer -^ >
rf«i
d'où Texpression de la force
L'aclion du point O se compose d'une attraction en raison inverse du cube de la distance et d'une répulsion proportionnelle à cette distance.
La loi du mouvement s'obtient en éliminant rfO entre I équation (2) et la différentielle de (i bis)
rdr
d'où
On pourrait, en partant de l'expression de la force donnée par l'équation (4), obtenir l'équation générale de la trajectoire : il suffirait de procéder comme dans les exemples précédents ; nous chercherons seulement quelle est la trajectoire absolue avec les données du problème actuel. L'élimination de t entre les équations (i bis) et (5) conduit immédiatement à l'équation de la trajectoire
2/ie = l0g-+l0g^-— y,-,
^^^ ''*"' a*(i>-i-(c — a^to)e-»«''
à chaque instant sur une spirale logarithmique ayant ce centre pour pâle et tournant uniformément autour de lui. On demande la valeur de la force en fonction de la distance du point mobile au centre fixe. L'expression de cette force étant trouvée, on cherchera V équation générale de la trajectoire d'un point matériel.
soumis à l'action de cette force.
(Paris, novembre 1874.)
Prenons pour axe polaire le rayon vecteur ÎDitial OA = a et comptons les angles B dans le sens de la rotation d^entraînement co; Féquation de la trajectoire relative est
et, comme
on a la relation
qui, jointe au théorème des aires
t "j^ r-ifi = c lit,
dêlonnine r et ^ en fonction de /.
Pour trouver l'expression de la force centrale /(r), nous appliquerons la formule de Binet
or de \ i^ on tire
tu si Ton elîmiike dt entre U différentielle de cette équation ci 1 équjitiv^n • J '. on a Féquation différentielle de la
MOUVEMENT D'uN POINT LIBRE. 'Jl3
trajectoire
Ci) rfO=- ''''
nr
qui permet de calculer -^ >
d'où l'expression de la force
L'action du point O se compose d'une attraction en raison inverse du cube de la distance et d'une répulsion proportionnelle à cette distance.
La loi du mouvement s'obtient en éliminant d^ entre l'équation (2) et la différentielle de (1 bis)
, r cir
at = — r- y
n{c — tsir^)
d'où
, c — a*w i j) a/i(of = log -. — •
On pourrait, en partant de l'expression de la force donnée par l'équation (4), obtenir l'équation générale de la trajectoire : il suffirait de procéder - comme dans les exemples précédents ; nous chercherons seulement quelle est la trajectoire absolue avec les données du problème actuel. L'élimination de t entre les équations (i bis) et (5) conduit immédiatement à l'équation de la trajectoire
r* c — ci^tù 2/16 = log — -h log ,->
ai6 DECXIÈMB PARTIE. — CHAPITRE 111.
k = cos2a, o •< * <C - : le mobile oscille entre les points i
et t: — a ou TT 4- a et 2Tt — a, suivant que sa position initiale est au-dessus ou au-dessous de Taxe polaire. Si
k^ — 1, ce qui exige (^) = o et 80= - ou ^o = —» ^^
mobile reste en équilibre.
2® A'>i; la vitesse angulaire ne s*annule jamais, le mouvement est résolutif. La vitesse est maximum chaque fois que le mobile passe en A ou B, et minimum quand il traverse Taxe polaire.
3® A" =: I ; l'équation du mouvement devient
y [X sinO
elle est intégrable et donne
/ = rt --: lo
tanîî-
VI* t a n "■ —
tan"?
on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que (-tt) sera positif ou négatif; dans le premier cas,
Q ira constamment en croissant de Oo^'^et, dans le second, en décroissant de Qq ^ o, si Ton choisit la direction positive de l'axe polaire, telle que o<;Ôo<C'^- H atteindra d'ailleurs sa situation limite, qui est une position d'équilibre instable, avec une vitesse nulle et au bout d'un temps infini; ce fait est général. Quand un mobile décrivant une courbe fixe arrive sans vitesse en un point où il reste, c'est évidemment une position d'équilibre, et, de plus, cet équilibre est instable, puisque la force vive du mobile est minimum. Enfin il n'arrivera généralement, dans cette situation limite, qu'au bout d'un temps infini, sans quoi la vitesse serait une fonction du temps telle que, à partir
d*un certain instant, elle serait constamment nulle. De pareilles fonctions sont fort rares ; le Calcul intégral en fournit peu d'exemples.
ens — I
ax -h 5 = o,
sachant qu'il y a une résistance proportionnelle au
carré de la vitesse, cette résistance étant exprimée par
la formule R = nv^.
(Clermont, novembre 1880.)
L'énoncé suppose implicitement Taxe des x dirigé suivant la verticale ascendante.
La courbe se construit facilement en partant de son équation différentielle
dx e«' — I
' as a
on reconnaît qu'elle est tangente à Torigine à Taxe des y
dx
et entièrement située du côté des x positifs ; comme -r- doit
être inférieur, en valeur absolue, à l'unité, il faut que l'on ail du côté des s positifs e'"^! -H ^î ce qui donne un point d'arrêt à tangente verticale. Quant à la branche obtenue en donnant à s des valeurs négatives, elle sera infinie si a^i ; dans le cas contraire, elle présentera un point d'arrêt comme la première, qui sera fourni, si l'on pose — 5 = t, par l'équation
celte seconde branche sera donc plus étendue que l'autre. Le mouvement du point sur cette courbe sera donné par
21 8 DBUXifcME PARTIE. — CHAPITRE III.
le théorème des forces vives
rf| i;» = — ^ ^.r rp m- ds = M^ ( i — c"^) ip m- ds;
(4) 1 — ^-"^ = (i — e-'«*o)cosr ^'^'"
le signe supérieur convient au cas du mouvement dirigé vers les s positifs et le signe inférieur au mouvement en sens contraire.
Nous supposerons que le mobile part sans vitesse initiale d*un point So de la branche positive ; on a alors
o-gtns / /7* \ I
une nouvelle intégration donne
le mobile passe à Torigine au bout du temps T = - l/— '
indépendant de s^\ la courbe est donc tautochrone. Il remonte ensuite pendant un temps égal, et Tare négatif— 7, quMl décrit est donné par la formule
9-i croît avec ^o^ mais lui est toujours inférieur, puisque la relation précédente peut s'écrire
Le mouvement ultérieur s^obtient en prenant le signe supérieur dans l'équation (2), et la courbe n'est pas tautochrone du côté des arcs négatifs.
26. Un point M assujetti à se mouvoir sur une sphère donnée, sans frottement, est sollicité par une force dirigée suivant la perpendiculaire abaissée du point M sur un diamètre fixe AB. Suivant quelle loi doit varier
