HOUTBMBNT D UN POINT SUR UNB COURBE FIXE
la force pour que la trajectoire décrite par le mobile soit une conique sphérique, dont le diamètre AB est l'un
des axes?
(École Normale, juillet 1877, a* question.)
Soient {fi g- 17)
GF = CF, = A, MF ± MF, = 2a;
« menons Tare MP normal à ACB; on a
cosMF = cosMPcos(X-f-PC), cosMF, = cosMP co5(X — PC),
Fie- «7-
cJ^'où les équations
cosMF -f- cosMF, — 1 cosMP cosX cosPC,
cosMF, — cosMF = acosMP sinX sinPC;
MF — MFi __ cosMPcosXcosPG 2 ~ cos a
MF — MFi cos MP sin X sin PC
cos
sin
sin a
. .*r. / cos» X cos» PC sin* X sin* PC \
cos*MP ( i r-i ) = I ;
\ cos* a sin* a /
2)0 DEUXIÈXE PARTIE. — CHAPITRE 111.
or
cosMPco5PC= -; cosMPsinPC = -,
l'équation de la projection de la courbe sur le plan des xz
est donc
, ^ . cos* X . sin* X
' cos^s sin*a
c'est une ellipse dont un axe est plus grand et l'autre plus petit que a. L'équation de la projection de cette courbe sur le plan des xy est en coordonnées polaires
(2) /*r» cos*^ H- X-*(a»— /-S) = aî,
si l'on pose
cos*X -, sin*X ,,
cos* a sm* a
Soit /(r) la force agissant sur l'unité de masse comptée dans le sens attractif; cette force et la réaction de la sphère rencontrant l'axe des z^ le théorème des aires projetées sur le plan des xy s'applique; en y joignant celui des forces vives, on a les deux équations
dit
(4) v^^K-^iJf{r)dn or
"" " dp- ~ STZTl \dï) ^"^ \dir*
d'où y en éliminant dty
De Téquation (a) on lire
et, en substituant dans (5),
ce que Ton peut écrire
dérivant enfîn par rapport à r, on a, pour l'expression de la force,
elle est attractive ou répulsive suivant que cos^X est inférieur ou supérieur à cos^a, c'est-à-dire suivant que l'axe des X est le grand ou le petit axe de l'ellipse projection de la conique sur le plan des xz,
27. Déterminer la courbe décrite sur un plan horizontal parfaitement poli, par un point matériel M lié par une tige rigide inextensible et sans masse, à un autre point A sans masse qui est animé d'un mouvement uniforme et rectiligne dans ce plan.
(Lille, novembre 1872.)
Imaginons un système de comparaison en translation avec A, les forces d'inertie d'entraînement et centrifuge composée étant nulles ; le mouvement relatif de M est celui d'un point soumis seulement à la réaction de la tige : le principe des aires s'y applique donc, et, comme la trajectoire relative est une circonférence par le centre de laquelle passe constamment la force centrale, le mobile la décrit avec une vitesse angulaire constante.
Le mouvement absolu est celui d'un point qui parcourt, avec une vitesse angulaire constante o>, une circonférence dont le centre se meut uniformément, avec la vitesse V,
La loi du mouvement sur la chaînette se déduit de 1 équation des forces vives ; on a
On est conduit à une intégrale elliptique de deuxième espèce.
3° ;jL = — I , n = — 3. — La pression est triple de la composante normale du poids et dirigée en sens contraire de cette composante; Féquation (i) nous donne
, r^ (/i -J- Y)dY
dx = — . " • — t
c'est un cercle dont le rayon k = Ay i -h pi est fonction de la direction et de la grandeur de la vitesse initiale. Le mouvement de ce pendule est donné par la formule
dt ' ^' ^"
le mobile ne parcourt que la moitié inférieure de la circonférence.
4** }A = — 2, n = — 2. — La pression double de la composante du poids est dirigée en sens inverse
La courbe est une cycloïde tournant sa convexité vers le bas ; la base est sur Thorizontale y = — h, et le diamètre
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tlu cercle générateur est k. Le mouvement sur cette courbe à la fois tautochrone et brachistochrone est bien connu. 5° Enfin, si l'on fait |jl infini^ « = — i, le mobile doit rester sur une droite, et son mouvement est uniformément varié.
ViLui^.. — Compositions. i.î
