CHAPITRE IV

29. Un point matériel pesant, assujetti à rester sur une sphère de rayon a, est attiré proportionnellement à la distance par un point fixe B situé sur la verticale Oz du centre de la sphère, à une distance OB = h de ce centre. On donne la valeur \k de l'attraction à l'unité de distance, l'intensité g de la pesanteur, la vitesse initiale k du point mobile, laquelle est supposer horizontale, et enfin la distance initiale h de ce point au plan Oxy qui passe par le centre de la sphère.

On demande de trouver les limites entre lesquelles

variera, pendant le mouvement, V ordonnée z du point

mobile; de déterminer complètement ce mouvement,

dans le cas particulier où l'attraction du point fixe B

sur le centre de la sphère est égale et contraire à la

pesanteur.

(Paris, novembre 187J.)

Le point mobile est soumis à Taction de trois forces, dont deux, Tattraction du point fixe et la réaction de ia sphère, rencontrent 0.3 et la troisième, la pesanteur, lui est parallèle; le principe des aires projetées sur le plan Oxy est donc applicable, en y joignant le théorème des forces vives ^ on a, en coordonnées cylindriques, lo>

équations

jtk

( I ) r2 -^ = c2 = k /a*— /jî ,

al

\ ^•2 — X-2 = — 2 / ; \kx dx -\- \xy dy -^ []ï.{z ^ b) -^ g] dz\

or

d'où l'équation entre -5 et /

Les valeurs limites de 5 s'obtiendront en exprimant que

dz la vitesse est horizontale, -t- = o, ce qui donne l'équation

( i) 2([jl6 — ^)(j? — /0(a«— -3*) — A:>(z« — A«) = o,

qui admet, ainsi que cela devait être, la racine z = h; en la supprimant il reste

(5) Mff— \i.b)z^ — k^ z— k^ h — i{g — it.b)a^= o,

A-'iJi y/XV-H S(g^ H^^)[a(é" — [>'à)a* -+- X» /i|

Soient z^ la plus petite de ces racines en valeur absolue et Z2 l'autre, il ne saurait y en avoir qu'une répondant à la question :

I** ff — |jLft>-o; substituant successivement pour z, dans le premier membre de (5), les valeurs

— 00, — a, — /i, -ha et -h 00 ,

on trouve que z, est compris entre — a et — h eiZi^ a : cette dernière valeur doit donc être rejetée. Soit A >> o,

aaS DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

le parallèle limite inférieur est situé au-dessous du parallèle symétrique de celui du point de départ.

2® g — [jl6<[o. Les mêmes substitutions montrent que Z2 est inférieur à — a et que z^ est compris entre — h et -^ a; c^est donc la racine z^ qui convient. Pour trouver les situations respectives des parallèles limites h et ^|. toujours dans Thypothèse A}>o, cherchons la condition pour que z% = — A; on a immédiatement, en substituant dans (5), \kb — ^ = 0; donc, quand la valeur absolue de ^ — [jl6 est très petite, le parallèle S| est très peu audessus du parallèle — A. Pour étudier ce qui arrive quand

b croît, il faut former la dérivée --7^; on trouve facilement

a*xo '

le second membre est positif si

sll en est autrement, comme le radical est toujours supérieur à

^'X.— Mi» 'xfi — A' .*//- — 8 A-/n xb — ^ . = k^— \hs 'xh — jj- >.

la dérivée -^ est encore positive. Donc, quand b croît, le parallèle -i s'élève; on a J| = h quand

\ ("> ) yiô — .c =

ri--A« rj '

alors le mobile décrit un parallèle et son mouvement an* gulaire est uniforme en vertu du théorème des aires.

Enfin, si le centre d'attraction B continue à s'élever. z% denent supérieur à A ; on a :;i = a pour 6 = ao .

y^ g — ui6 = o: les composantes des trois forces agis-

sant sur le mobile sont respectivement, en appelant N la réaction comptée à rintérieur de la sphère,

dt^ ^ a dt^ ^-^ a dt^ ' a'

leur résultante passe constamment par le centre de la sphère : donc la trajectoire est plane. Le mobile décrit un grand cerch; de la sphère d'un mouvement uniforme ; faisant passer le plan des xz par la situation initiale du mobile, on trouve aisément, pour l'expression de ses coordonnées en fonction du temps,

. f AY /-- r r— A'/ kt

(7) .5 = /i cos — » T = v a* — /(f'cos — ? V — - a sin — ; enfin la réaction de la sphère est constante et égale à

X*— JJLÛÏ

Nous avons supposé h^o dans la discussion précédente; si à rinstant initial le mobile se trouvait dans rhémisphère inférieur, ce cas se ramènerait à celui que nous avons étudié en prenant pour axe des z la verticale descendante et changeant 6 et ^ de signe. La discussion serait la même; elle se présenterait seulement en ordre inverse.

Recherchons, en terminant, la condition générale pour qu'un mobile assujetti à rester sur une surface de révolution y décrive un parallèle d'un mouvement uniforme.

La vitesse initiale v^ doit être tangente au parallèle de ravon r décrit par le mobile, et de grandeur telle que la force centrifuge correspondante soit en équilibre avec la réaction de la surface et la résultante des force s /réellement agissantes, ce qui exige d'abord que cette résultante soit constamment dans un plan méridien, et de plus, si l'on projette sur la tangente au méridien, pour éliminer

23o DIUXIÈIB PARTIE. — CHAPITBE IV.

la réaction, que Ton ait Féquation

(8) — cosa-r- S/cosX = o;

on vérifie aisément que cette relation conduit à Téquatîon (6).

30. Un point matériel est assujetti à rester sur um sphère dont un point fixe P est considéré comme pôle, et il est sollicité par une force dirigée, à chaque instant, suivant la tangente au méridien MP et inversement proportionnelle au carré du cosinus de la latitude. Déterminer le mouvement du point M et trouver V équation du cône qui a pour sommet le centre de h sphère et pour directrice la trajectoire décrite.

La vitesse initiale du point M sera supposée tangente au parallèle passant par la situation initiale.

(École Normale, juillet iSjS.)

Le principe des aires projetées sur le plan de Téquateur est applicable et donne, en désignant par a le rayon de la sphère et par ^ la latitude de M,

oB ^ Ou

(1) r^ —- = roVoj acos^k -y = VqCOS/.q'j

at at

le théorème des forces vives conduit à Téquation

{->.) i-—i''—il — —T-a ^ = ?.jjLa(tangX — tangXo); or

d'où, en éliminant dt,

i^îcos*Xo i'JcostXo /<A\5 j , . . ^^^„-i

cos*X cos*A V rfw /

VOCYEIENT D*Clf POINT SUR L!<fB SURFACE. 23 1

la relation difTérentielle entre et A est donc

^ ,A po cosXorftancX

y/ — ^l cos*Xo lang*X -+- ajia taagX — ajio langXo-t- vl sio'Xo

le mobile reste entre le parallèle X© et le parallèle )»i défini par la seconde racine de la quantité sous le radical égalée

à zéro

2!JLa

^4) tangX,= j;j^^-tang/...

Le mobile décrit le parallèle )»o si A| = Au, c'est-à-dire si Ton a

'^ sin2Ao

L'équation (3) peut s'écrire

j^ PoCosXo^/tangX

4/ U'oSinAo ■ — —) — ( l'oCOSAotangA ■ — ^)

V \ VoCOSAo/ \ PoCOSAo/

son intégrale est, en faisant Oo= ^7

ul cos*Ao tanpX — iia

(•>) cos6 =

v^ sinÀ^cosÀo — [J-a

équation qui définit la trajectoire du mobile.

On obtient aisément l'équation du cône ayant cette courbe comme directrice, à l'aide des relations

cosO = - t tangX =

(G) [^pj cos*Xo-^ x(fxa — J pj sinaXo)]*— [i^a^^x^-^-y^) = o;

c'est un cône du second degré ayant le plan des xz pour plan de symétrie. La trajectoire et la courbe symétrique relativement à l'origine se projettent sur ce plan suivant

^32 DBCXdaiE PARTIS. — CBAPITU IT.

deux arcs de l'ellipse

limités par le méridien de ce plan.

La relation entre la latitude et le temps est

V — i'I oos*X^ tan*;*). -+- ajia tangX — ajia tao^Ào — tj fin-).

OU, en posant tang y. = w,

, .a du

expression que Ton sait intégrer.

31. Cn point matériel non pesant ^ de masse /?i, est assujetti (i se mousroir sur la surface d'une sphère de rayon /; dans chacune de ses positions il est soumis à l'action d'une force perpendiculaire à un plan fixe P mené par le centre de la sphère, dirigée vers ce plan, et

dont l'intensité est -^^^ z désignant la distance du mo-

bile au plan. On suppose la vitesse initiale parallèle au plan :

I® Troui'er la projection de la trajectoire sur le plan P;

2® Exprimer les coordonnées polaires du mouvement projeté en fonction du temps, dans le cas où Von a *

l zl - l* > o.

t'a désis*nant la vitesse initiale et z^ la valeur initiale

de z.

^ École Normale, juillet 1879.)

En procédant comme dans les exemples précédents,

on a

MOUVBMBNT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. a33

OU

éliminant e//,

(3) d:cra =

dr

ri

— ne peut varier qu'entre les deux racines de la quantité sous le radical, et, comme Tune d'elles est -^y l'autre est

± =r^ Il = lii.

si /•** > o, il est supérieur à fi; r varie donc en tous cas entre r© et /.

L'équation (3) peut s'écrire

rbîcTO = ;

intégrant et faisant Oo= o, il vient

cosaO :

234 DICXIÈBE PA1T1E. — CHAPITBB IT.

oa

I ros*6 sin*6

âuivani que rf <o, ccUe équation représente une ellipse on une hyperbole; si c*e$t une ellipse, son grand axe e<l dirigé suivant O^v.

Recherchons r et ^ en fonction du temps dans le cas où. en vertu de Ténoncé, la courbe est une ellipse ; on a

^ ^rftangO

î co^»0 -^ A sin«0 * ^ ( ^ ^*"î^^ )

ri r*

doù

( > ) tangO = — lang ~ /.

On en déduit, à Taide de Téquation ( 4 N (fi) /•ï=r«cos« - / — Hsin» - /.

La trajectoire du mobile est une courbe fermée qui a pour projection l'arc AB d'ellipse {Jîg- i8), et les formules qui précèdent ne sont applicables que quand le mobile va de M© en B ; à partir de ce point la vitesse angulaire ^change brusquement de signe sans passer par zéro, et la vitesse v devient infinie au point B, ;; = o, à cause

de sa composante -j^- La valeur limite w de 8 est donnée par la formule

=__cos«u)-+--^sin«a),

(7) tangù,= î;pl,

et la durée T d^un quart de révolution est

T = — arc tang -,— ^

A partir du moment où le mobile vient rencontrer en B le plan des xy, son mouvement ne peut plus être déterminé qu'en invoquant des raisons de symétrie. Il faudra en conséquence, pour obtenir le mouvement dans la seconde période qui comprend le parcours du mobile de B en A

au-dessous du plan des xy j remplacer, dans les formules (5) et (6), t par aT — 1\ de cette façon, en effet, pour deux instants également éloignés de Tépoque T, H et r reprendront les mêmes valeurs. Pour la période suivante dans laquelle, z étant positif, H varie de — oj à on remplacera t par / — {T, et ainsi de suite.

32. Un point pesant m est assujetti à se mouvait sans frottement sur un cylindre circulaire droit dont Vaxe est vertical, et, en outre^ il est soumis à Vattrac-

tion d'un point fixe A, attraction proportionnelle à la distance. Déterminer le mouvement du point m.

(Paris, août 1874-)

Prenons pour axe des z Taxe du cylindre et pour axe des X rhorizontale passant par A; on a, en appelant R le rayon du cylindre, a la distance OA, [jl^ Tattraction à Tunîté de distance et N la réaction prise positivement à rexlérieur du cylindre,

d'où Ton déduit, en tenant compte de l'équation différentielle du cylindre,

, d^T d^y dT^-\-dY^ , ^

'^dx-^-\-idy-^=i\i>adx, -j^^^- = i\C-ax^C,

ou, en coordonnées polaires,

(2> R -^— = Rw*-i- 2jx«a{cosÔ — cosOq),

en désignant par w et 6© les valeurs initiales de -^ et de H.

Quant à la troisième équation (i), elle s'intègre immédiatement :

(3) ^ = (.,^)cos,.*-^i(g)^sinî./-^.

La projection de M sur Taxe des z fait des oscillations dont la durée est — au-dessus et au-dessous du point dont

l'ordonnée est — ^« L'équation (2) prouve que le rayon

vecteur de la projection de M se meut par rapport à OA comme la tige d'un pendule de longueur -j— par rapport

à la verticale; le mouvement sera alternatif ou continu

selon que

Ro)* — 2jx*a(i -4- cos6o)>o.

Dans le second cas, le temps d^une révolution est / rfO /R(ajjL«acos6 -H Rw«— 2|i*a cosOq)"»;

s'il est commensurable avec — -t la trajectoire sera fermée;

mais elle ne peut être plane, car ce serait une ellipse, et H devenant une fonction connue de z s'exprimerait comme lui par des fonctions élémentaires de t; or c'est incompatible avec la forme de l'équation (2) qui exige une intégrale elliptique quand a est différent de zéro.

La valeur de N s'obtient aisément à l'aide des deux premières équations (1) :

d'où

puisque

d l dx dvX

donc

\ = — Rt-j-4-jx*(R — acos6) = îx'(R-h2acosOo— 3acosO)-Ua)«.

Cette force atteint son minimum pour B ^ o et son maximum pour la valeur limite de si le mouvement est oscillatoire, ou pour = 1: s'il est révolutif ; il sera donc toujours possible de reconnaître si la réaction, que nous avons

comptée extérieurement au cylindre, change de sens pendant le mouvement.

33. Mouvement d'un point matériel pesant, assujetti à rester sur ta sur/ace d'un cylindre de révolution dont l'axe fait un angle e avec la verticale ascendante,

(Paris, novembre 1876.)

Prenons pour axe des z Taxe du cylindre et pour plan des zx le plan vertical contenant cet axe; les équations générales du mouvement nous donnent

Opérant comme dans l'exemple précédent, on arriverait à

dx* -f- dy^ , 2^7-^ = ^ff sin e dx,

d'où Ton conclurait que le mouvement de la projection du mobile sur le plan des xy est pendulaire.

Le mouvement de la projection du point sur Oz esl celui d'un mobile soumis à la seule action de la pesanteur

et animé d'une vitesse initiale (^ ) • La trajectoire n'est

jamais plane, et la réaction s'exprime comme précédemment.

34. On donne une ellipse dont les axes ont pour Iongueur 2 a c*^ 26; cette ellipse sert de base à un cylindre droit indéfini, sur lequel un point matériel est assujetti à se mouvoir. Ce point est, en outre, attiré proportionnellement à la distance par le centre O de l'ellipse. Déterminer le mouvement et discuter les divers cas qui peuvent se présenter.

Données. — On représentera par k^ l'attraction du

MOnVEHENT d'UN POINT SUR UNE SURFACE. , 289

centre O sur V unité de masse à V unité de distance ; par Vq la vitesse initiale; par e Sangle qu'elle fait avec la génératrice du cylindre; par z^ la distance de la position initiale du mobile au plan de l* ellipse, et par Xq la distance de ce même point au plan qui passe par l'axe du cylindre et le petit axe de l'ellipse.

Appliquer les formules trouvées au cas où b=^ a; que faut'ily dans ce ca^, pour que la trajectoire soit une courbe fermée ou bien une courbe plane?

Calculer, dans la même hypothèse, la réaction du

cylindre,

(Ecole Normale, juillet 1881.)

Les équations générales du mouvement nous donnent, .V élant l'arc d'ellipse,

df^ ds

dt*

L'intégrale de la dernière est

. t'ocose . .

( A) z =: Zo cos kt H -, — smkt ;

le mouvement projeté sur Oz est oscillatoire, et la durée des oscillations est T = —• Les valeurs de t qui rendent s maximum ou minimum sont données par la formule

, , t'o cos e

ZqA

et les valeurs de z correspondantes sont

240 DEC3UÈMB PABTIB. — CHAPITIE IV.

Si Ton élimine la réaction entre les deux première? équations (i), on a

^ ,/,r ^ 'îl^ dr = - kHx dx^y dy).

dtt "^ ^ dt^ ' ^ -^ -^

dx' dv^

équation qui n'est autre que celle des forces vives dans le mouvement projeté. Éliminant y et dy k l'aide de Téquation du cylindre

Téquation (3) devient, en appelant e l'excentricité de Tellipse de base,

' dt ; a* — X*

d'où

dr n^ — ri

i :\ — ri 1 — 7-T \ 1* -in* î — /. - tf- 1 r*- - x^

* dt \ U'— e*x^

, ai-x*' .,

La quantité — ^ ^\ éUnt positive, les valeurs extrême de X sont données par la formule

si X* <^«*, le mouvement est oscillatoire, la projection du mobile passe au sommet du petit axe, milieu de sa course, avec une vitesse maximum, ainsi que cela résulte de 1 équation (3). Dans le cas de orf >>«*, le mouvement e>i révolutif; la vitesse devient maximum ou minimum à chaque passage par un sommet du petit ou du grand a\e. Enfin, si Ton a x\ = a-, l'équation (4) prend la forme

MOUYBMEIfT D'dN POKVT SUR UNE SUKFACE. a^I

simple

(î) Ayjc/f =±: ^fJlr f — ,

expression que Ton sait intégrer; mais il est facile devoir, sans faire Tin tégration, que le mobile n'atteint sa position d'équilibre instable x:=±a qu'au bout d'un temps infini ; si l'on forme, en effet, l'expression (a qz x) ^ — — > elle ne change pas de signe, et sa valeur minimum est

Dans le cas de 6 = a, ^ = o, la formule (4) devient

dx , (^osins

dt a

1» * ou

(6) .r = a cos t, v = a sin t.

si l'on prend pour instant initial celui du maximum de x\ ce sont les formules du mouvement angulaire uniforme ; l'équation (3) conduit immédiatement à la même conséquence.

La durée de la révolution est T= — r-^: si donc le

pQ sine

rapport =■ = - — r—^ est commensurable, la trajectoire est

fermée. Pour qu'elle soit plane, il faut d'abord que ce rapport soit égal à l'unité, et il est facile de reconnaître que cette condition est suffisante; les trois coordonnées s'exprimant linéairement en fonction du sinus et du cosinus du même multiple du temps, l'élimination de ces lignes trigonométriques conduit à une équation linéaire et homogène en x, y et z.

ViLuc. ^ Compositions, i6

La réaction est donnée par la formule

,-..=.(,.. ti^^)

(7) N .. a (^^•«- -iL__ j ;

elle est constante, et cette constante est nulle dans le ca> où la courbe décrite est plane.

35. Un point matériel non pesant est assujetti use mouvoir sur un cône de révolution, et il est soumis à l'action d'un centre attractif, placé au sommet du cornet qui l'attire en raison inverse du carré de la distance.

On demande d'étudier le mouvement du point matériel et, en particulier, la projection de la trajectoire sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône. On supposera la vitesse initiale perpendiculaire à la génératrice du cône sur laquelle se trouve le point matériel.

(Paris, août iS-S.)

Nous prendrons le sommet du cône pour origine et son axe pour axe des z; les deux seules forces qui agissent sur le mobile, la réaction de la surface et Tatlraction du sommet rencontrant Taxe des z, le théorème des aires projetées donne Téquation

L'équation des forces vives est

, r |JL* jr d.r -^- V dv -^ z dz . / i i v

R représentant la distance du mobile au sommet. Si dou> introduisons les coordonnées polaires R et co de la transformée de la trajectoire du mobile dans le développement

MOUVEMENT d'UN POINT SUR UNE SURFACE. 2^3

du cône sur un plan, on a, y étant le demi-angle au sommet du cône,

les équations du mouvement deviennent

R' ^ = Ro.0,

rî z=z çl -\--2

'^ Ah hJ'

ce sont celles du mouvement d'un point attiré par Torigine en raison inverse du carré de la dislance, ainsi qu'il était aisé de le prévoir. L'équation de la transformée de la trajectoire est donc