I -+- ( ' " ■ — I ) COSliJ
qui représente une courbe du second degré, rapportée ù un fover et à son axe focal.
La projection de la trajectoire sur le plan des xv a pour équation
ÎJL* *
i-4-r-— J-- i)cos(OsinY) elle est transcendante quand sinyest incommensurable.
36. Un point pesant assujetti à rester sur la surface d'un cône de révolution, dont Vaxe est vertical^ est attiré par un centre plax:é au sommet S du cône y V attraction est proportionnelle à une fonction inconnue de la distance MS :
I** Trouver quelle doit être cette fonction pour que Ut trajectoire du point M soit plane;
2** Etudier f dans ces conditions, le mouvement de la projection du point M sur un plan horizontal;
3° Déterminer la réaction du cône pour une position quelconque du point M sur sa trajectoire.
(Açrcgalion, 1879.)
La réaction de la surface, la force attractive / et la pesanteur étant dans le plan du point M et de Taxe du cône, le théorème des aires projetées est applicable
Le principe des forces vives donne Téquation (2) çt çl^^^J^^fdK-^gdz) = ^'xf^^^^J^dn
or
j dz^ -4- dr^ -^ /g </Q« c« c» ( ^' r )
" dt^ *" r* "*■ sïîîîY \^/ '
d'où, en diCférentiant Téquation (2),
sinY r^\r sin*Y d^*
La trajectoire du mobile étant plane, Téquation de sa projection est
I — e cos 6 '
on en déduit, pour l'expression de la force y, )•' ' r«sinYV/? /• /
Le mouvement de la projection du mobile sur le plan
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 245
horizontal est connu, puisqu'il s'eOectue, conformément au principe des aires, sur une courbe du second degré, dont l'origine est un foyer; le temps s'exprime en fonction de r par la somme d'un radical et d'un arc cos ou d'un logarithme, suivant que la courbe est une ellipse ou une hyperbole; dans le premier cas, on introduit de préférence l'anomalie excentrique.
La réaction N, comptée à l'intérieur du cône, se détermine aisément par l'équation du mouvement projeté sur
or
dr — e/?sinO rfO __ é^csinO 57 ~ (i — ecosÔ)» ~dt ~~ p '
d^r __ ec cos c^O ^ c' / i 1 \ ■^ " 'p di ""^ r^\p~ rj'
d'où
37. Un point matériel pesant est assujetti à demeurer sur un cône circulaire droit dont l'axe est vertical; il est, en outre, soumis à l'attraction d'un centre fixe placé au sommet du cône et attirant en raison ini'erse du cube de la distance.
On demande d'étudier le mouvement du point matériel.
(Paris, juillet 1876.)
Le théorème des aires projetées sur un plan horizontal et celui des forces vives conduisent aux équations
r« -r: = consl. ou R* -— = c, dt dt '
Le mouvement du mobile sur la transformée de sa trajectoire est celui d\in point soumis à Taction d'une force
attractive égale à ^ -\-gcos^; pour l'étudier, nous éliminerons -Tj entre Téquation des aires et
il vient
équation dans laquelle la constante  a pour valeur
/ JD \ 2 i|2 f't
(2) ^^ (t77 ) -^^^Rocosv— ^-^- ;
on est ainsi ramené aux fonctions elliptiques.
Nous distinguerons trois cas, suivant qu'on aura jx- — c*négatif, nul ou positif:
I® [jL* — c- <Co. Le polynôme du troisième degré P qui représente ( , j a deux racines positives, séparées par
Ko ; le mouvement du point est oscillatoire entre les parallèles R2 et Rj.
Pour que le mobile décrive le parallèle Ko, il faut que
la vitesse initiale soit horizontale, ce qui exige (--7r) =0, et qu'on ait, en outre (n** 29),
il est aisé de reconnaître que cette condition équivaut à exprimer que Rj =: R3.
2" [JL- — C' = o. — On a
-j- =zh ^— xgW cosY -T- A;
le radical s'annule pour une seule valeur R| de R, supé-
-7- ) >► G, R va en croissant jusqu'à
Ri pour décroître ensuite jusqu'à — oo , le mobile passe de la nappe supérieure à la nappe inférieure avec une
vitesse infinie; si (-77) <Co, R décroît dès l'origine du
mouvement.
Dans le cas actuel, R s'exprime simplement en fonction du temps, et il est aisé d'avoir sous forme finie l'équation de la trajectoire.
3*^ [JL- — c->^o. — Le polynôme P a une seule racine positive R| supérieure à Roi 1^ condition de réalité des autres racines s'obtient en remarquant qu'elles sont alors séparées, par la racine
Ra=:
3^co
dP
de l'équation -^ =0] si l'on exprime que cette valeur de R rend P négatif, on trouve
!"• irt
27^» cos'Y
Si cette condition, qui suppose A<^o, est remplie, le mobile oscille entre deux parallèles R| et R^, ce dernier étant situé sur la nappe inférieure et répondant à la plus petite en valeur absolue des deux racines négatives du polynôme P; on peut reconnaître que les racines R^ et Rs sont comprises entre — R| et — 00 et que par suite — Rj>Ri. En effet — R| et — 00 substitués dans P donnent des résultats positifs; donc les deux racines négatives sont comprises entre zéro et — R| ou entre — R| et — 00 . Pour prouver qu'elles sont dans le second intervalle, il suffit de montrer que la racine R^ qui les sépare
y est elle-même comprise; or
— 2^ RJ cos Y -4- ARJ -h [X* — c* = o,
d'où, puisque A < o,
2^RJ COSY < |X»- C»< ^,~J^^^ = g C05Y(- R^)^
ei, par suite,
— Ra> Ri-
Si le polynôme P a deux, racines imaginaires, le mouvement du mobile est analogue à celui du second cas.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la situation initiale du mobile était sur la nappe supérieure du cône ; si c'était Tinverse, nous prendrions la nappe inférieure comme positive, ce qui reviendrait simplement à changer le signe de g^ et nous étudierions le mouvement du mobile à l'aide d'une discussion analogue à la précédente.
Le mobile décrit un parallèle de la nappe inférieure si, la vitesse Vq étant horizontale, on a
- = -^-,-^cosy:
tandis que sur la nappe supérieure le point pouvait toujours décrire un parallèle, moyennant un choix convenable de i^? il n'en est plus de même sur la'nappe inférieure au-dessou*»
du parallèle R = C/ —
^ \ ^cosY
38. Un point matériel non pesant, assujetti à se mouvoir sur un cône de ré^^olution, est sollicité par une force dirigée à chaque instant suivant la perpendiculaire abaissée du point mobile sur Vaxe du cône y et proportionnelle à la longueur de cette perpendiculaire. Trouver le mouvement de ce point.
MOUYBSIENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. ^49
On appliquera les formules au cas suivant : l'angle que les génératrices du cône font avec l'axe est de So**, la vitesse initiale est perpendiculaire à l'axe,
(École Normalci juillet 1869.)
On pourrait procéder comme dans l'exemple précédent, on trouverait que les équations entre R et o) sont celles du mouvement d'un point attiré vers un centre par une force R|JL^ sin^y; la transformée de la trajectoire du mobile est donc une ellipse ayant O pour centre. Nous allons traiter la question directement.
Les équations du mouvement sont
d'où
Inéquation différentielle de la trajectoire projetée est
, jft . ccff c dr
r» sinY r /— [x« r* -t- aî r-' — c2
a' -h \/a* — 4 c* H^' cos[2(6 -h a) siny]
la courbe est fermée si siny est commensurable; elle se réduit à une circonférence et le mobile décrit un parallèle si
a* — 4<^*P''= o, (t'J-h [A*/'î)' — 4lA*/'îi'o sin*X sin'e = o,
en désignant par X l'angle de c^o sivec l'axe du cône et par e l'angle de la projection de v^ sur le plan xOy^ avec le rayon vecteur r; or le premier membre de l'équation de condition
est supérieur à ( i? J — 1^^ ''o )^» *^"^ dans le cas où a = s = - ; il faul donc, pour qu'il soit nul, que la vitesse ^o ^oit tan-
génie au parallèle et que l'on ait en outre — = i^^r©, ce
que Ton aurait pu écrire immédiatement.
On aurait facilement r et en fonction du temps, mais le mouvement révolutif du point est suffisamment défini par la connaissance de la trajectoire et le principe des aires projetées.
Dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire à Taxe et l'angle y égal à 3o'*, on a, en faisant passer Taxe polaire par la position initiale,
les rayons vecteurs de cette courbe sont les racines carrées de ceux d'une ellipse rapportée à un foyer et à son axe focal.
On trouve facilement pour les expressions de /• et 6 en fonction du temps
la durée de la révolution est T = — •
39. On donne un cône de révolution et Von considère le plan V perpendiculaire à l'axe du cône et passant par son sommet O. Un point matériel M non pesant est assujetti à se moui^oir sur le cône; dans chacune de ses positions ce point est soumis à l'action d'une force perpendiculaire au plan P et proportionnelle à la fiième puissance de la distance z du mobile au plan.
La vitesse initiale t^© ^st supposée tangente au parallèle du point de départ :
1** Déterminer le mouvement du point M;
2** Trouver l'expression de la réaction normale de la sur/ace en fonction de la distance MO = R ;
3** Effectuer complètement les intégrations dans le cas de n= 1 ,
(Paris, juillet 1882, i" ques.lîon.)
Le théorème des aires projetées sur le plan P et celui des forces vives donnent
Les deux équations entre R et co sont celles du mouvement d'un point attiré vers un centre O par une force proportionnelle à la /i»*"* puissance de la distance.
La relation entre R et / est la suivante :
/dRV R.S.;
d^où l'on déduit, pour Téquation différentielle de la projection de la trajectoire,
*^^ sin^Y r*\d(ij '"^^ r^ n -r- 1 ^ ' ^'
Les seules valeurs que puisse prendre R sont celles qui satisfont à la condition
quantité nulle à Torigine du mouvement: si donc sa dérivée
2Rî^;
1^ — aîi«R«cos''+-»7
aSs DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
est positive à l'instant initial, c'est-à-dire si
vî > |ji« R;** cos«-^J y,
il faudra que R commence par croître, (-17) > o. D'ailleurs l'équation
qui n*a que deux variations et qui admet la racine Rq, en a une seconde Ri > R© ; en efi'et, son premier membre est négatif pour R un peu supérieur à R© et positif pour R infini. Le mobile oscille donc entre les parallèles Ro et R| en décrivant des spires égales.
Si (^2< [^^1^0^' cos"''"W, le mouvement est tout à fait analogue avec cette seule différence que R| <C Ro-
Dans le cas où i^l = |a=*RJ^* 005"+* y» ^^^ deux racines R« et R| sont égales et le mobile décrit le parallèle R = R« d'un mouvement uniforme.
La réaction N, prise positivement à l'intérieur du cône, est donnée par l'équation du mouvement projeté sur O;
or, en décrivant Téquation qui donne ( -7-) » on
I d*z Rlvl cosY dt* H"» ^ *
dt^ d'où
(3) N = -^ cotY-+-|A*R'*sinYcos«Y-
Cas de n = i. — Les équations (1) et (2) s'intègrenl facilement et donnent
(4) R'=RJcos«({x/cosY)-+-|;^i-^^sin«(îircosY),
(5) -j = — cos*(6siiiY)-*- ^- — t — ^ sin»(6sinY). '' ''0 ^0
MOUYEllBNT B'U!<f POINT SUR LfVE SURFACE. 203
L'équation de la transformée de la trajectoire, après développement du cône, est l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes
40. Etudier le mouvement d'un point matériel M, assujetti à se mouvoir sur un paraboloïde de révolutiony et attiré vers le foyer F de ce paraboloide par une force inversement proportionnelle au carré de la distance,
(Paris, juillet 1879, 1^ question.)
Le paraboloïde rapporté à son axe et au plan tangent au sommet a pour équation , en coordonnées cylindriques,
(i) r^ = iaz.
L'attraction et la réaction rencontrant l'axe des 2, on a
enfin l'équation des forces vives donne d'ailleurs
fi^\i (Jr^-^dz^ c« n-^TLzdz^
dt^ r* iz dt^
c* a -»- 9 3 c* dz^
laz 'xz 4a«^> €/0>'
IVquation (3) devient donc, en posant rj — ^~- = A,
, . Mv c{a-\~iz) dz
( i) dzd^:= ^
iz^ V^2a^[4[A«-+- A(aH-a^)] — c*(a-t- %z)
254 DBUXtfcME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Cette quadrature, ainsi que celle qui donnerait le temp> en fonction de >s, est facile à former, mais Téquation (î) :>e prête mieux à la discussion des circonstances que présente le mouvement. La quantité sous le radical égalée à zéro a ses deux racines 5| et Z2 réelles; en effet, z = Zq"^ o rend nécessairement cette quantité positive, tandis que zéro la rend négative, donc o < iîi <C :;© î le signe de l'autre racine dépend de celui de A :
i*^ Al>o, ^2<;o. — Donc z est constamment supérieur à 3|. Le mobile s^en va à Pinfini, en décrivant une spirale, soit dès l'origine du mouvement, soit après élir
descendu jusqu'au parallèle Zt^ suivant que (-^) ^o.
2* A ^:^ o. — Même mouvement.
3" A <C o. — Le trinôme sous le radical a ses deu\ racines, Zi et 33, positives, entre lesquelles z est nécessairement compris; le mobile oscille entre les parallèles c, et Z'2 .
Pour que le mobile décrive un parallèle de la surface, il faut que la vitesse initiale Vq soit normale à Taxe, et qur Ton ail
— sina= ^ cos3t;
l'angle a de la tangente à la méridienne avec Taxe e>l donné par la formule tanga = — : la condition précédenle peut donc s'écrire
Ces conditions équivalent à
