Trouver le mouvement d^ un point matériel pesant
assujetti à glisser sans frottement sur la surface d^un
paraboloïde de révolution dont Vaxe est vertical et dont
la concavité est tournée vers le haut. On supposera la
vitesse initiale horizontale.
(École Normale, juillet 187a.)
On a les formules
dt
< I » /- — = r^VQ,
' '2 • V^ — —^—^ H : JTT ~ f 5 -^ -i c - , — ^ ),
Ko II
dz^ 'iz{ v;^ - 7 X''-;,) - ■ 'x^ z^ — '> z ,v\
I az*
z devant rester compris entre ^0 et -^=//, le mobile
oscille entre les parallèles correspondants.
Pour que ces limites se confondent, il faut que :;„=: A; dans ce cas, le mobile parcourra uniformément un parallèle de la surface avec la vitesse v^ii^'w©; comme la lon- <;ueur du parallèle est 2 7:y/2^/r„, le temps de la révolution
?»era airl/^; il est le même pour tous les parallèles. Lr
paraboloïde est la seule surface de révolution à axe vertical, jouissant de cette propriété que la durée de la révolution d'un point matériel pesant qui décrit un parallèle est constante; en eflet, la condition pour que le mobile décrive le parallèle r est
-^ sinot — ^cosa,
a 56 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.
le temps de la révolution sera donc
T = = air 1/ — tanga;
pour qu^il soit constant, il faut que
rdr rtanga= -^j- = c;
la méridienne est nécessairement parabolique.
L'équation différentielle de la trajectoire projetée sur xOy s'obtient en remplaçant dans l'équation (3) ^ par r« , rdr ^ . r* d^ r* d^ -i • .
— > az par et dt par = , — ; il vient
Changeant de variable et posant
on a
'^o/i /a -h 2>5o cos*tt-i- 2/isin*M
^0 cos' a -f- A sin* «
r oscillant entre \j7.az^ et ^lahy l'angle de deux ra\ons vecteurs maximum et minimum qui se suivent est supé-
rieur à -» comme dans le cas du pendule sphérique, car
c'est
/' /T I du__
y zo h . cos*a'
et cette dernière intégrale est égale à '^ •
HOLVEMElfT D*(JN POINT SUR UNE SURFACE. 267
La réaction de la surface est donnée par la formule
dt^
d^z en différentiant IMquation (3), on obtient -jt^', substituant
dans IVquation précédente et réduisant, on trouve
Comme elle est toujours positive, il en résulte que le mobile appuie constamment sur le côté concave de la surface.
42. Un point matériel pesant est assujetti à se moui'oir sur un paraboloïde de révolution, dont Vaxe est la verticale Oz. Il est, en outre, soumis à l' attraction d^un centre placé au foyer de la parabole méridienne. Cette attraction est proportionnelle à la distance et telle que, si le point matériel était placé au sommetOy elle serait égale au poids de ce point. On demande d^ étudier le mouvement de ce point, en particulier dans le cas où il s^ effectue dans un des plans méridiens de la surface.
(Paris, juillet 1873.)
On a les équations
d^ dt
-vl=-^flLÏ{dR-'>.f^dz = iL{Rl^R^)-^2ff{Zo-z);
or
d'oii
ViLLiÉ. — Compositions. 17
258 DEUXIÈME PARTIE. — GHAPiTBE IV.
on a d^ailleurs
dz^ xazv^ — c*
si donc l'on pose
il vient
c/z* — f^zia-^'xz^'^ — ^apz'—kz — c'^
dt^ ~~ rt(a-i-2^)
le problème est ramené, comme le précédent, au il fonc> lions elliptiques.
Pour obtenir les limites de Zy étudions le polynôme du troisième degré
f[z) = g^{(i -T- 2i;)*-H ^agz^ — kz — c-,
il a une racine négative et deux racines positives z, et w^. séparées par ^o^ C3ir/(so) est nécessairement négatif; il est d'ailleurs facile de le vérifier,
Le mobile oscille donc entre les parallèles z^ et Z2^ avec
une vitesse azimutale -j- inversement proportionnelle à
w, comme dans les exemples précédents.
Le cas où la vitesse initiale serait dirigée suivant la tangente au méridien et où le mobile ne sortirait pas de ce méridien se rapporte au mouvement sur une courbe ; il «e déduit des calculs précédents en y faisant c = o et,, par suite, z^ = o, l'autre racine
-1 = — rt -i — {/ —, -H3aî > Zo.
Si, par exemple, ( ^ ) >o, z croît, le mobile atteint le
point 3 =r VI, alors -t- = o, ç' = o; -rr change ensuite de signe, et le mobile se dirige avec une vitesse croissante
MOUVEMENT d'UN POINT SDH UNE SURFACE. 269
vers le sommet de la parabole; au moment où il Tatteint, sa vitesse est maximum, et il oscille indéfiniment entre les deux points de la parabole qui ont ^i pour ordonnée.
43. Un point matériel pesant, assujetti à se mouvoir sur la sur/ace d'un paraboloïde de révolution
z = ^» dont l'axe est la verticale Oz, est repoussé
par cet axe proportionnellement à la distance. Etudier le mouvement du point, sachant que la vitesse initiale
est horizontale et que i^o = -•
(Dijon, juillet 1880.)
Procédant comme dans les problèmes précédents, on arrive à
dr^ ajJL — g r^ir^ — a*)
d^^ av
2 r^-^a^ \ a XL — g)
Les circonstances du mouvement dépendent du signe de a*x — *^,
1'* a|x — g^o. — Le mobile décrit une spirale en ^'élevant jusqu'à Tinfini, avec une vitesse croissante, sur la surface du paraboloïde ; la loi du nvouvement est définie par le principe des aires projetées.
'^•' rt[jL — ff = o. — Le mouvement est de même nature (|iie dans le cas précédent; les formules deviennent
dz^ ^ vl{iz — a) dt* ~ 2z-^ a
dr^ r^ir"^ — a» ) ^ elles sont intégrables, et la vitesse est constante.
26o DBUnÈMS PARTIE. — CHAPITRE IV.
3°aa — g <^o. — La trajectoire est une courbe festonnée, comprise entre le parallèle du point de départ et le
parallèle z, = , ^ r: la vitesse va en décroissant
quand z croît. Enfin le mobile décrit un parallèle si
Il n'est pas nécessaire, dans le problème actuel, de calculer la réaction de la surface sur le mobile pour connaître le sens dans lequel elle agit; il y a, en effet, équilibre entre celte force, les forces extérieures et les forces d'inertie langentielle et centrifuge, qui sont toutes extérieures à la surface; la réaction est donc constamment dirigée vers l'axe.
-44. On considère la sur/ace de révolution engendrée par une hyperbole équilatère ayant une asymptote verticale et tournant autour de cette asymptote. On demande le mouvement d'un point pesant y assujettie demeurer sur Vune des deux nappes de cette surface.
( Paris, juillet 1877. 1
On a les équations
rz = a', r»^ = c, t'S = v^-k- if^iz^^— z) — b — igz.
br^ — 2 a* gr — c*
c dr v/<i* -^ r^
H ^br^ — là^ gr — c*
i*' La position initiale du mobile est sur la nappe supérieure, ^0 >- o, b> o\ les racines du trinôme
br^ — ia>gr — c' = o
sont Tune, r^ positive et l'autre négative, on doit avoir r ^ Ti ; r croît jusqu'à l'infini, soit dès l'origine du mouve-
MOUVEMENT d'un POINT SUR UNE SURFACE. 26 1
ment, soit après avoir touché le parallèle Tf, suivant que
2^ Le point se meut sur la nappe inférieure. Prenant alors la direction positive de Taxe des z dans le sens de la pesanteur, il suffira de changer le signe de g dans les formules précédentes, ce qui rend b susceptible de signe.
Si b^Oy le mouvement est le même que dans le cas précédent.
Si 6 < o, le trinôme tr^-f- %a^ gr — c* a ses deux racines Ti et r^ positives et séparées par r = ro, qui rend nécessairement le trinôme positif. Le mobile oscille constamment entre les parallèles de rayons r^ et r^.
Dans ce dernier cas, le mobile décrit le parallèle Tq si les deux racines sont égales à Tq, ce qui exige
c'est-à-dire quand la vitesse i^o. étant horizontale, est celle qui serait due à la chute ^^o«
45. On considère la surface engendrée par une cvcloïde ACB, tournant autour de sa ba^e AB. Un point matériel M, non pesant , est assujetti à rester sur cette surface que l'on suppose parfaitement polie ; le point M est soumis à l'action d'une force perpendiculaire à AB, dirigée vers AB, et dont l'intensité est proportionnelle à la distance r du mobile à AB. Déterminer le mouvement et discuter les différents cas qui peuvent se présenter. Fixer les limites entre lesquelles r peut varier,
(Paris, juillet 1881', i'* question.)
Le mouvement est déterminé par les équations
( I ) r* -r- = c* = ro i»o cos e,
(a) w« = ç»J -+. |x(rj — r«) = 6»— (jLr«,
303 DECXlfeXB PàKTIE. — CHAPITRE IT.
dans lesquelles e désigne l'angle de c^o ^vec la tangente au parallèle du point de départ, et 6* la quantité rj-f- ;j.r^.
Or, pour la cycloïde, on a ^ = 1/ ~~~~' ^ étant le rayon du cercle générateur, d'où
ia — r dt* ' r»
et enfin
[ ^ dr __ /<•>« — r)( — jA r* -<- 6* /•* - c* )
(3) \^^ = -^v/-H^r*+6îrî-cS "' yiar
— -7- = c» /sa — . •
<*'• r/(2a — r)(— {ir^-h6*r*— r*)
Comme la quantité 2 a — r est au moins égale à zéro,
le polynôme
P=— jxri— ^2/5— c^
doit être positif ou nul, ses racines en r^ sont donc nécessairement réelles, positives et séparées par rj ; vérifions-K directement
P„ = — î^r^* - ( i'j -+- ixr» ) rj - r J pJ cos» e = rj v'J sin» i > 0,
tandis que P est négatif pour r^ nul et r^ suiBsammeni grand.
La nature du mouvemenl dépend de la grandeur de la plus grande racine r^ de l'équation P = o; suivant que r='xa rendra P positif, nul ou négatif, c'est-à-dire selon
MODYEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 203
que Ton aura
( 4 ) 4 6« «2 i6 jjLrt* — c^ = o,
/*! sera supérieur, égal ou inférieur à 2 a.
1° Ti << 2a. — Le mobile oscille entre les parallèles r^ et Ts situés du même côté de l'équateur de la surface que le parallèle Tq. Il décrira ce parallèle si Ti = Ta, ce qui exige £ = o et i^J=|xrJ; ces conditions, auxquelles on peut être conduit directement, expriment que la force d'attraction et la force centrifuge sont égales et directement opposées : la réaction de la surface est alors nulle.
Toutefois, si le mobile est primitivement placé sur l'équateur, la condition e = o suffît pour qu^il décrive ce parallèle, seulement la réaction n'est plus nécessairement nulle, elle prend une valeur constante qui dépend de Vq,
2** r, = 2a. — Le mobile décrit une spirale asymptotique à Téquateur, après avoir touché le parallèle r^ si
(•^) <Co; il n'arrive, en effet, à l'équateur qu'au bout d'un temps infîni, car si l'on considère la fonction
zrrz ?
V' (,•>.«' — r) {— «JL /•'♦ ^- b^ /•- — c* )
r via
elle devient = et son produit
( ia — r)y\k{'ia -i- r) (/•* — r| )
par acr — r a, pour r = 2a, une valeur finie. Dans ce cas, le problème se ramène aux fonctions elliptiques.
Ce résultat était très probable; si, en effet, le mobile atteignait l'équateur au bout d'un temps fini, les composantes j7 et -TT de la vitesse devenant alors nulles, le at dt '
mobile décrirait Téquateur avec la vitesse constante — > la vitesse, après avoir été fonction du temps, se réduirait à
a64 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
une constante; de pareilles fonctions ne se présentent pas en Mécanique.
3° Ti ]> 2a. — Le mobile oscille entre les deux parallèles de rayon /'2 situés de part et d'autre de Téquateur.
Au moment où il passe à Téquateur ^ s'annule, parce que
r est maximum, sa vitesse devient minimum, mais il fran-
chit toujours l'équateur, parce que -3- n'est pas nul.
46. En un point O de la surface de la Terre, situé à la latitude \ on considère un plan poli P supposé vertical et perpendiculaire au plan méridien. Un mobile pesant assujetti à demeurer dans le plan P est lancé du point O avec une vitesse initiale donnée* Etudier le mouvement du mobile dans le plan P, en tenant compte de la rotation de la Terre, Calculer la réaction
du plan.
(Nancy, juillet 1880.)
L'étude du mouvement relatif d'un point se ramène à celle d'un mouvement absolu pourvu qu'aux forces réellement agissantes on ajoute : 1° la force d'inertie d'entraînement ou réaction du point contre le mouvement qu'il tend à prendre avec le système de comparaison, en le regardant comme invariablement lié à ce système, dans la position qu'il occupe à l'instant considéré ; a^ la force centrifuge composée qui est égale et directement opposée au double produit de la masse du point par la vitesse de rotation de l'extrémité de la vitesse relative, issue de la rotation instantanée co des axes mobiles et tournant autour de lui.
Dans le cas qui nous occupe, la vitesse angulaire 01 est
constante et égale à = 0,0000729 ; de plus, la force
composée étant nulle pour le repos relatif, la résultante de
Tatlraction de la Terre et de la force d'inertie d'entraineinent est la quantité que Ton appelle g^ et sa direction est celle du fil à plomb ou verticale apparente du lieu qui détermine également la latitude. Pour traiter les mouvements à la surface de la Terre comme des mouvements absolus, on n'a donc plus à s'inquiéter de la force d'inertie d'entraînement, mais simplement de la force centrifuge composée dont les composantes parallèles aux axes du système de comparaison ont pour expression
/ dz dy\ l dx dz\ / dv dx\
-^{^di-'ày -^v-Tt-PTty -^{fîî-^Tty
p^ q elr étant les trois composantes de la rotation lo. Nous prendrons pour origine le point de départ, pour axe des X la tangente au méridien dirigée vers le pôle sud, pour axe des y la tangente au parallèle vers l'est et pour axe des z la verticale descendante (*); la partie positive de l'axe de rotation de la Terre étant dirigée vers le pôle
sud. on a
p=:(acos\, q = o, r = a>sinX;
les composantes de la force centrifuge composée sont donc
, ^ dy / ^ dz .s dx\ ^ dy
acosinA—-, 20) ( cosA -^ — sinA -5- 1» — atocosA— -
dt
Les équations du mouvement d'un point sur lequel agit une force (X, Y, Z), rapportée à Tunité de masse, sont
( • ) Les axes ainsi choisis constituent le système direct, c'est-à-dire tel que la rotation positive autour de Ox ait lieu de x vcrs^. Les formules
u = qs — ryy v = rx — pZj w — py — qXy
qui donnent les composantes de la vitesse du point (ar,^,z) dans la rotation {p^q^r), supposent ce choix d'axes; avec le système inverse elles devraient être changées de signe.
266 DBCUfeME PAMTIB. — CHAPITRE IT.
donc
i ^^ V • \ dy
-T-i- = A -f- aw sin A -r- >
ai' dt
< Il t —rrr = 1 -^ ato
/ ^ dz ' ^ dx\ dt^ \ dt dt J
d^z ^ dy
Dans le problème proposé, les formules (i) deviennent, .r =o,
É .1 -r- aci> sin A -i- = o, I dt
ï d^Y . dz
r/»- . dr
