CHAPITRE V

47. Etant donnés trots dxes rectangulaires et une portion de droite matérielle homogène, dont une extrémité est à r origine et dont la longueur et la posàion par rapport aux axes sont données :

I® Déterminer Inéquation de V ellipsoïde central de cette droite par rapport à V origine;

a** Déterminer la longueur du pendule simple isochrone au pendule composé qui serait formé par cette droite matérielle oscillant autour de sa projection sur

le plan des xy,

(Lille, juillet i86S.)

L'équation générale de Fellipsoïde d'inertie d'un corps par rapport à l'origine est

— lyz S myz — izx^nxzx — ixy^m xy ;

or, si l'on désigne par / la longueur de la droite donnée A et par a, p, y ses angles avec les axes, on a

Ix=Sm(7»-+-^2)= / /î(cos*?4-cos«Y)rf/= -(cos*?-*- €05*71.

MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE. 269

l'équation de Tellipsoïde est donc

— = a?* ( 008*^-4- cos*y) -4-^'(cos*y -+- cos*a)-h^^(cos* « -+- cos*p)

— ^yz cos^ cosy — a^xcosy cosa — 2.xy cosacos^

— = a:^ -\^ yi -{. z^ — {x cos a -hy cos p -+- -s cos y )*

= r* — r* cos*(r, A) = r* 5in*(r, A),

r étant la distance à l'origine d'un point quelconque de rellipsoïde. Cette surface est un cylindre circulaire droite

ayant la droite donnée pour axe et i/tj pour rayon.

La longueur L du pendule simple isochrone est, si l'on représente par a la distance du centre de gravité de la droite de masse / à l'axe d'oscillation

''-al' or

a=\lcosf, l\ = Z mz' = ~ cos* '(,

doù

L = l l cosY-

48. Les axes OX, OY, OZ étant invariablement liés à un corps solide et Vaxe OTL étant jixe dans V espace y on donne par rapport à ces axes les coordonnées x^y y ^ du centre de gravité du solide et les valeurs D, E des sommes 'Zmyz^ Xmxz.

Le solide étant supposé tourner autour de OZ avec une vitesse angulaire co, sans être sollicité par aucune force extérieure, on demande :

I** De trouver quelle relation il doit y avoir entre les données D, E, Xi ety^^ pour que les pressions exercées sur Vaxe aient une résultante unique;

270 OEUXIÈXB PARTIS. — CHAPITME T.

2° De calculer y quand cette relation est satisfaite, la valeur de la pression résultante;

3® De former, par rapport aux axes mobiles OX,

OY, OZ, les équations de la droite suivant laquelle elle

est dirigée.

(Paris, août 1872.)

Soient

M la masse du corps ;

X, Y les composantes de la réaction d'un point A de Tav

situé à la distance 2^ de Torigine; X', Y' celles d*un second point A'; Z la réaction de Taxe dans le sens longitudinal.

Appliquant au système le principe de d'Alembert et remarquant que toutes les forces d'inertie sont centrifuges,

puisque , en Tabsence de force extérieure -^ = o, on a

les cinq équations

X -t-X'-i- >Ia7,(o»= P, Y -f- Y'— M/iO)» = 0. Z = o, Y;-+-Y'Ç'-i-Da)2=o, XÇ^X'Ç'-+-Eo>ï -^ o,

qui déterminent les réactions de Taxe.

I** La condition générale pour qu'un groupe de forces 5, qui ne se réduit pas à un couple, ait une résultante unique est

Sep, = X-t-X' = — Mj:,(ii2, Sç,. = Y-i- Y' = -Mj'ia)2, S(p- = o; SOlVxÇ =-Y; — Y'r' = Dc«)î, 2 01lj.o=XÇ-4-X';'=— Eu>», SOîlx? = 0;